组合计数问题

6 个人，两个人组一队，总共组成三队，不区分队伍的编号。不同的组队情况有（ ）种

 

### 问题重述
我们有6个人，需要将他们分成三队，每队两个人。不区分队伍的编号（即队伍的排列顺序不重要），问有多少种不同的组队情况。

### 理解问题
首先，我们需要明确几个关键信息：
1. **6个人**：假设这6个人是 distinct（可区分的），比如命名为A, B, C, D, E, F。
2. **两人一队，共三队**：即把6个人分成三个无序的对。
3. **不区分队伍的编号**：这意味着队伍的排列顺序不重要。例如，{(A,B), (C,D), (E,F)} 和 {(C,D), (A,B), (E,F)} 是同一种组队方式。

### 解决思路
这是一个典型的“将一组人分成若干大小相同的无序组”的组合问题。具体来说，是将6个人分成3个无序的2人小组。这类问题可以使用“多重组合”或“分步计数”的方法来解决。

#### 方法一：逐步选择法
我们可以按照以下步骤来计算：

1. **选择第一队的两人**：
- 从6个人中选2人，有 C(6,2) = 15 种选择。

2. **选择第二队的两人**：
- 剩下4个人，选2人，有 C(4,2) = 6 种选择。

3. **选择第三队的两人**：
- 最后剩下2个人，自动组成一队，有 C(2,2) = 1 种选择。

这样，初步看起来有 15 × 6 × 1 = 90 种方法。但是，这样计算会有一个问题：因为队伍的排列顺序不重要，而我们实际上对三队进行了“排列”（即给队伍赋予了顺序）。例如，选择顺序 (AB, CD, EF) 和 (CD, AB, EF) 实际上是同一种分组方式，但在我们的计算中被视为不同的。

由于有三队，三队的排列有 3! = 6 种，所以我们需要将总数除以 6 来消除顺序的影响。因此，正确的组队方式为：

总数 = (C(6,2) × C(4,2) × C(2,2)) / 3! = (15 × 6 × 1) / 6 = 15 种。

#### 方法二：排列与分组
另一种思考方式是考虑排列和分组：

1. **将6个人排列**：
- 6个人有 6! = 720 种排列方式。

2. **将排列分成连续的两人组**：
- 例如，排列 ABCDEF 可以分为 (AB, CD, EF)。
- 但是，组内顺序不重要（即 (AB) 和 (BA) 是相同的），所以每组内部有 2! 的重复。
- 有三组，所以有 (2!)^3 = 8 的重复。
- 此外，组的顺序也不重要（即 (AB,CD,EF) 和 (CD,AB,EF) 相同），所以有 3! 的重复。

因此，不同的组队方式为：

总数 = 6! / [(2!)^3 × 3!] = 720 / [8 × 6] = 720 / 48 = 15。

这与之前的方法得到的结果一致。

#### 方法三：递推或递归
也可以使用递归的思路：

- 固定一个人，比如 A，然后选择 A 的队友（有 5 种选择）。
- 剩下的4个人，再固定一个人，选择其队友（有 3 种选择）。
- 最后两人自动组队。
- 这样，总数是 5 × 3 × 1 = 15。

但是需要注意，这种方法已经隐含了队伍的无序性，因为我们是“固定”一个人来避免重复计数。

### 验证
让我们用较小的数字验证这个方法是否正确。例如，4个人分成2个2人队：

- 方法一：C(4,2) × C(2,2) / 2! = 6 × 1 / 2 = 3。
- 实际分组：{(AB,CD), (AC,BD), (AD,BC)}，确实有3种。

再比如，2个人分成1个2人队：

- C(2,2) / 1! = 1，显然正确。

因此，我们的方法是正确的。

### 具体计算
对于6个人：

C(6,2) = 15，
C(4,2) = 6，
C(2,2) = 1。

总数 = (15 × 6 × 1) / 6 = 15。

### 列举部分情况（验证）
为了进一步验证，我们可以尝试列举部分组队情况：

假设6个人为 A, B, C, D, E, F。

一些不同的组队方式：
1. (AB, CD, EF)
2. (AB, CE, DF)
3. (AB, CF, DE)
4. (AC, BD, EF)
5. (AC, BE, DF)
6. (AC, BF, DE)
7. (AD, BC, EF)
8. (AD, BE, CF)
9. (AD, BF, CE)
10. (AE, BC, DF)
11. (AE, BD, CF)
12. (AE, BF, CD)
13. (AF, BC, DE)
14. (AF, BD, CE)
15. (AF, BE, CD)

确实有15种不同的组队方式。

### 可能的误区
在解决这类问题时，容易犯的错误包括：

1. **忽略队伍的无序性**：
- 直接计算 C(6,2) × C(4,2) × C(2,2) = 90，而忘记除以队伍的排列数 3! = 6，导致结果偏大。

2. **重复计数**：
- 如果采用固定一个人的方法，但没有正确考虑剩余的选择，可能导致重复或遗漏。

3. **混淆有序和无序**：
- 如果问题中队伍是有编号的（即区分第一队、第二队、第三队），则不需要除以 3!，结果为 90 种。但本题明确“不区分队伍的编号”，因此需要除以排列数。

### 一般化公式
对于将 n × k 个人分成 n 个 k 人队（不区分队的顺序），不同的组队方式为：

总数 = (n × k)! / [(k!)^n × n!]

在本题中，n = 3，k = 2：

总数 = 6! / [(2!)^3 × 3!] = 720 / (8 × 6) = 15。

### 结论
经过以上分析和验证，将6个人分成三个无序的两人队，不同的组队情况共有 **15种**。

 

 

由 1,1,2,2,3 这五个数字组成不同的三位数有（ ）种

 

### 问题重述
我们需要用数字1, 1, 2, 2, 3这五个数字组成不同的三位数，问有多少种不同的三位数。

### 理解问题
首先，明确以下几点：
1. **数字来源**：我们有五个数字，分别是两个1，两个2，一个3。
2. **组成三位数**：需要从这五个数字中选取三个数字（可以重复或不重复，取决于数字的选取方式）来组成一个三位数。
3. **不同的三位数**：指的是数值上不同的三位数，例如112和121是不同的，即使它们使用了相同的数字组合。

### 解决思路
因为数字有重复（两个1和两个2），我们需要考虑在选取数字时如何处理重复的数字。具体来说，三位数的构成可以分为以下几种情况，基于使用的数字的重复情况：

1. **所有三个数字都不同**：即选出的三个数字互不相同。
2. **有两个数字相同，另一个不同**：即选出的三个数字中有两个是相同的，另一个不同。
3. **三个数字都相同**：即选出的三个数字完全相同。

然而，观察给定的数字（两个1，两个2，一个3），我们可以发现：
- 不可能有三个数字都相同，因为最多只有两个1或两个2。

因此，实际可能的情况只有：
1. 所有三个数字都不同。
2. 有两个数字相同，另一个不同。

### 情况一：所有三个数字都不同
我们需要从数字1, 2, 3中选取三个不同的数字（因为只有1, 2, 3是不同的数字，且3只有一个，所以必须选1, 2, 3）。

- **选取的数字**：1, 2, 3。
- **排列方式**：三个不同的数字可以排列成 3! = 6 个不同的三位数。

具体排列：
1. 123
2. 132
3. 213
4. 231
5. 312
6. 321

因此，这种情况有6种不同的三位数。

### 情况二：有两个数字相同，另一个不同
我们需要选择两个相同的数字和一个不同的数字。根据给定的数字，可能的相同数字对是：
- 两个1
- 两个2

（因为只有1和2有重复，3只有一个，不能作为相同的数字对。）

#### 子情况2.1：两个1和一个不同的数字
- 相同的数字：1, 1。
- 不同的数字：可以从剩下的2, 2, 3中选择。但要注意数字的重复：
- 选择2：实际上有两个2，但因为我们已经在“相同的数字”中用了两个1，剩下的数字是2（因为两个2中已经用了一个？这里需要明确）。

更准确地说，原始数字是两个1，两个2，一个3。如果选择两个1，那么剩下的数字是一个2（因为已经用了两个1，剩下两个2和一个3中选一个不同的数字）。但两个2是相同的，所以选择“一个不同的数字”可以是2或3。

因此：
- 不同的数字可以是2或3。

- 对于两个1和一个2：
- 排列方式：三个数字中有两个相同，排列数为 3! / 2! = 3。
- 112
- 121
- 211

- 对于两个1和一个3：
- 排列方式：同样为3。
- 113
- 131
- 311

因此，两个1和一个不同的数字共有 3 (for 2) + 3 (for 3) = 6 种三位数。

#### 子情况2.2：两个2和一个不同的数字
- 相同的数字：2, 2。
- 不同的数字：可以从剩下的1, 1, 3中选择。同样：
- 选择1：因为有两个1，但已经用了两个2，剩下两个1和一个3中选一个不同的数字。
- 可以是1或3。

- 对于两个2和一个1：
- 排列方式：3! / 2! = 3。
- 221
- 212
- 122

- 对于两个2和一个3：
- 排列方式：3。
- 223
- 232
- 322

因此，两个2和一个不同的数字共有 3 (for 1) + 3 (for 3) = 6 种三位数。

#### 子情况2.3：其他相同数字
没有其他相同的数字对（因为3只有一个），所以无需考虑。

### 总结情况二
- 两个1 + 一个不同数字：6种。
- 两个2 + 一个不同数字：6种。
总计：6 + 6 = 12 种。

### 总的不同三位数
- 情况一（所有数字不同）：6种。
- 情况二（两个相同，一个不同）：12种。
总计：6 + 12 = 18 种。

### 验证
让我们列出所有可能的三位数以确保没有遗漏或重复：

**情况一：1, 2, 3**
1. 123
2. 132
3. 213
4. 231
5. 312
6. 321

**情况二：两个1 + 一个不同**
- 两个1 + 一个2：
7. 112
8. 121
9. 211
- 两个1 + 一个3：
10. 113
11. 131
12. 311

**情况二：两个2 + 一个不同**
- 两个2 + 一个1：
13. 221
14. 212
15. 122
- 两个2 + 一个3：
16. 223
17. 232
18. 322

确实有18个不同的三位数，没有重复或遗漏。

### 可能的误区
在解决这类问题时，容易犯的错误包括：

1. **忽略数字的重复**：
- 如果没有注意到有两个1和两个2，可能会错误地认为可以有三个相同的数字，或者忽略某些排列。

2. **重复计数**：
- 例如，在两个1和一个2的情况下，如果不考虑两个1是相同的，可能会认为112和112是不同的排列（实际上它们是相同的，因为1是重复的）。

3. **遗漏情况**：
- 可能会遗漏“两个2和一个1”或“两个1和一个3”等情况。

### 一般化方法
对于类似的问题，可以按照以下步骤：

1. **列出所有可能的数字组合**：
- 根据数字的重复情况，列出所有可能的选取方式（如所有不同、两个相同等）。

2. **对每种组合计算排列数**：
- 如果数字有重复，排列数为总数除以重复数字的阶乘。例如，两个1和一个2的排列数为 3! / 2! = 3。

3. **汇总所有情况**：
- 将所有情况的排列数相加，得到总数。

### 结论
经过以上分析和验证，由数字1, 1, 2, 2, 3组成的不同三位数共有 **18种**。