多维偏序

给定一个有n个元素的序列，元素编号为1~n，每个元素有三个属性a,b,c，求序列中满足i<j且ai<aj且bi<bj且ci<cj的数对(i,j)的个数。
对于1<=n<=50000，保证所有的ai、bi、ci分别组成三个1~n的排列。

https://www.cnblogs.com/candy99/p/6442434.html

当我们对第x个关键字进行归并排序时，当然前提是第x-1个关键字已排好了。

此时对于[L,R]的左区间[L,Mid]中某两个元素a,b,经过第x关键字排序后，其第x-1关键字可能打乱了。但没有关系，我们算的是

这两个元素对右区间[Mid,R]中某个元素的影响。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=5e4+5;
inline int read(){
    char c=getchar();int x=0,f=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}
int n;
struct Operation{
    int a,b,c,d;
    bool flag;
}a[N],t1[N],t2[N];
int c[N];
inline int lowbit(int x){return x&-x;}
inline void add(int p,int v){for(;p<=n;p+=lowbit(p)) c[p]+=v;}
inline int sum(int p){
    int re=0;
    for(;p;p-=lowbit(p)) re+=c[p];
    return re;
}
int ans;
void CDQ2(int l,int r)
{
    if(l==r) return;
    int mid=(l+r)>>1;
    CDQ2(l,mid);
	CDQ2(mid+1,r);
    int i=l,j=mid+1,p=l;
    Operation *a=t1,*t=t2;
    while(i<=mid||j<=r)
	{
        if(j>r||(i<=mid&&a[i].c<a[j].c))
		{
            if(a[i].flag) 
			   add(a[i].d,1);
            t[p++]=a[i++];
        }else
		{
            if(!a[j].flag) 
			    ans+=sum(a[j].d);
            t[p++]=a[j++];
        }
    }
    for(int i=l;i<=mid;i++) 
	    if(a[i].flag) add(a[i].d,-1);
    for(int i=l;i<=r;i++) 
	    a[i]=t[i];
}
void CDQ(int l,int r)
{
    if(l==r) return;
    int mid=(l+r)>>1;
    CDQ(l,mid);
	CDQ(mid+1,r);
    int i=l,j=mid+1,p=l;
    Operation *t=t1;
    while(i<=mid||j<=r)
	{
        if(j>r||(i<=mid&&a[i].b<a[j].b)) 
		  (t[p++]=a[i++]).flag=1; // 来自左边数列 
        else
		    (t[p++]=a[j++]).flag=0;  //来自右边数列 
    }
    for(int i=l;i<=r;i++) 
	    a[i]=t[i];
    CDQ2(l,r);
}
int main(){
    freopen("partial_order.in","r",stdin);
    freopen("partial_order.out","w",stdout);
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i].b=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i].c=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i].d=read(),a[i].a=i;
    CDQ(1,n);
    printf("%d",ans);
}

Sol2:

https://blog.csdn.net/LPA20020220/article/details/81038606?utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromBaidu-1.control&depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromBaidu-1.control

我们当然可以CDQ套树套树，但是在这里介绍一种CDQ套CDQ的写法。

第一维：我们通过排序解决。（在这里就是输入顺序）

第二维：我们CDQ在buf数组里实现对其的排序，递归处理。同时处理[lef,rig]区间时，将[lef,mid]区间打上标记表示其第一维较小。

第三维：我们CDQ在buf2数组里实现对其的排序。当然buf2是基于buf得到的。

第四维：BIT维护前缀和即可。注意修改、查询的条件是第一维第二维都较小。这时我们就可以利用打的标记来判定了。

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cctype>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define R register
#define IN inline
#define W while
#define gc getchar()
#define MX 50050
#define File freopen("partial_order.in", "r", stdin), freopen("partial_order.out", "w", stdout)
#define lbt(i) (i & -i)
template <class T>
IN void in(T &x)
{
    x = 0; R char c = gc;
    W (!isdigit(c)) c = gc;
    W (isdigit(c))
    x = (x << 1) + (x << 3) + c - 48, c = gc;
}
struct Node
{
    int a, b, c, d;
    bool typ;
}eve[MX], buf[MX], buf2[MX];
int dot, tree[MX];
long long ans;
namespace BIT
{
    IN void clear(R int now)
    {
        W (now <= dot)
        if(tree[now]) tree[now] = 0, now += lbt(now);
        else return;
    }
    IN void add(R int now)
    {W (now <= dot) ++tree[now], now += lbt(now);}
    IN int query(R int now)
    {
        int ret = 0;
        W (now) ret += tree[now], now -= lbt(now);
        return ret;
    }
}
void cdq2(const int &lef, const int &rig)
{
    if(lef == rig) return;
    int mid = lef + rig >> 1;
    cdq2(lef, mid), cdq2(mid + 1, rig);
	//先递归保证左右区间c单增， 并且左区间b值小于右区间b值
    int lb = lef, rb = mid + 1, cur = lef;
    W (lb <= mid && rb <= rig)
    {
        if(buf[lb].c < buf[rb].c)
        {
            if(!buf[lb].typ) BIT::add(buf[lb].d);//必须a值更小才能更新
            buf2[cur++] = buf[lb++];
        }
        else
        {
            if(buf[rb].typ) ans += BIT::query(buf[rb].d);//必须a值更大才能计入结果
            buf2[cur++] = buf[rb++];
        }
    }
    W (lb <= mid) buf2[cur++] = buf[lb++];
    W (rb <= rig)
    {
        if(buf[rb].typ) ans += BIT::query(buf[rb].d);
        buf2[cur++] = buf[rb++];
    }
    for (R int i = lef; i <= mid; ++i) if(!buf[i].typ) BIT::clear(buf[i].d);
    for (R int i = lef; i <= rig; ++i) buf[i] = buf2[i];
}
void cdq1(const int &lef, const int &rig)//处理b
{
    if(lef == rig) return;
    int mid = lef + rig >> 1;
    cdq1(lef, mid), cdq1(mid + 1, rig);//先递归保证左右区间b单增
    int lb = lef, rb = mid + 1, cur = lef;
    W (lb <= mid && rb <= rig)
    {
        if(eve[lb].b < eve[rb].b) 
		    buf[cur++] = eve[lb++], buf[cur - 1].typ = false;
        else 
		    buf[cur++] = eve[rb++], buf[cur - 1].typ = true;
    }
    W (lb <= mid) 
	   buf[cur++] = eve[lb++], buf[cur - 1].typ = false;
    W (rb <= rig) 
	   buf[cur++] = eve[rb++], buf[cur - 1].typ = true;
    for (R int i = lef; i <= rig; ++i) eve[i] = buf[i];
    cdq2(lef, rig);
}
int main(void)
{
    File;
    in(dot);
    for (R int i = 1; i <= dot; ++i) 
	     in(eve[i].b), eve[i].a = i;
    for (R int i = 1; i <= dot; ++i) 
	     in(eve[i].c);
    for (R int i = 1; i <= dot; ++i) 
	     in(eve[i].d);
    cdq1(1, dot);
    printf("%lld", ans);
}

　参考文件:解决高维偏序.pptx

五维偏序

第一维：排序

第二维：分治后标号处理

第三维：分治后标号处理

第四维：分治

第五维：树状数组

模板代码：

#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<cassert>
#include<cstring>
#include<complex>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = 50010;
struct Query
{
    int d1,d2,d3,d4,d5,part1,part2;
}query[maxn],tmp2[maxn],tmp3[maxn],tmp4[maxn];
int  n,bit[maxn]; LL ans;
int  lowbit( int x ){ return x&(-x); }
void add( int x , int val )
{
    for ( ; x<=n ; x+=lowbit(x) )
        bit[x] += val;
}
int  sum( int x )
{
    int res = 0;
    for ( ; x>=1 ; x-=lowbit(x) )
        res += bit[x];
    return res;
}
void clear( int x )
{
    for ( ; x<=n ; x+=lowbit(x) )
    {
        if ( bit[x] ) bit[x] = 0;
        else break;
    }
}
void cdq4d( int L , int R )
{
    if ( R-L<=1 ) return;
    int M = ( L+R )>>1;
    cdq4d( L , M );
    cdq4d( M , R );
    int p = L,q = M,o = L;
    while ( p<M&&q<R )
    {
        if ( tmp3[p].d4<tmp3[q].d4 )
        {
            if ( tmp3[p].part1==0&&tmp3[p].part2==0 ) add( tmp3[p].d5 , 1 );
            tmp4[o++] = tmp3[p++];
        }
        else
        {
            if ( tmp3[q].part1==1&&tmp3[q].part2==1 ) ans += sum( tmp3[q].d5 );
            tmp4[o++] = tmp3[q++];
        }
    }
    while ( p<M ) tmp4[o++] = tmp3[p++];
    while ( q<R )
    {
        if ( tmp3[q].part1==1&&tmp3[q].part2==1 ) ans += sum( tmp3[q].d5 );
        tmp4[o++] = tmp3[q++];
    }
    for ( int i=L ; i<R ; i++ )
    {
        clear( tmp4[i].d5 );
        tmp3[i] = tmp4[i];
    }
}
void cdq3d( int L , int R )
{
    if ( R-L<=1 ) return;
    int M = ( L+R )>>1;
    cdq3d( L , M );
    cdq3d( M , R );
    int p = L,q = M,o = L;
    while ( p<M&&q<R )
    {
        if ( tmp2[p].d3<tmp2[q].d3 )
            tmp2[p].part2 = 0,tmp3[o++] = tmp2[p++];
        else
            tmp2[q].part2 = 1,tmp3[o++] = tmp2[q++];
    }
    while ( p<M ) tmp2[p].part2 = 0,tmp3[o++] = tmp2[p++];
    while ( q<R ) tmp2[q].part2 = 1,tmp3[o++] = tmp2[q++];
    for ( int i=L ; i<R ; i++ ) tmp2[i] = tmp3[i];
    cdq4d( L , R );
}
void cdq2d( int L , int R )
{
    if ( R-L<=1 ) return;
    int M = (L+R)>>1;
    cdq2d( L , M );
    cdq2d( M , R );
    int p = L,q = M,o = L;
    while ( p<M&&q<R )
    {
        if ( query[p].d2<query[q].d2 )
            query[p].part1 = 0,tmp2[o++] = query[p++];
        else
            query[q].part1 = 1,tmp2[o++] = query[q++];
    }
    while ( p<M )
        query[p].part1 = 0,tmp2[o++] = query[p++];
    while ( q<R )
        query[q].part1 = 1,tmp2[o++] = query[q++];
    for ( int i=L ; i<R ; i++ ) query[i] = tmp2[i];
    cdq3d( L , R );
}
int main()
{
    for ( ; scanf ( "%d" , &n )==1 ; )
    {
        for ( int i=1 ; i<=n ; i++ )
            bit[i] = 0,query[i].d1 = i;
        for ( int i=1 ; i<=n ; i++ )
            scanf ( "%d" , &query[i].d2 );
        for ( int i=1 ; i<=n ; i++ )
            scanf ( "%d" , &query[i].d3 );
        for ( int i=1 ; i<=n ; i++ )
            scanf ( "%d" , &query[i].d4 );
        for ( int i=1 ; i<=n ; i++ )
            scanf ( "%d" , &query[i].d5 );
        ans = 0; cdq2d( 1 , n+1 ); printf ( "%lld\n" , ans );
    }
    return 0;
}

posted @ 2020-12-30 16:00 我微笑不代表我快乐阅读(194) 评论(0) 收藏举报

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多维偏序

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