BZOJ1697 [Usaco2007 Feb] Cow Sorting牛排序

农夫JOHN准备把他的 N（1 <= N <= 10,000）头牛排队以便于行动。因为脾气大的牛有可能会捣乱，JOHN想把牛按脾气的大小排序。每一头牛的脾气都是一个在1到100，000之间的整数并且没有两头牛的脾气值相同。在排序过程中，JOHN 可以交换任意两头牛的位置。因为脾气大的牛不好移动，JOHN需要X+Y秒来交换脾气值为X和Y的两头牛。 请帮JOHN计算把所有牛排好序的最短时间。

Input
第1行： 一个数， N。
第2~N+1行： 每行一个数，第i+1行是第i头牛的脾气值。

Output
第1行： 一个数，把所有牛排好序的最短时间。
Sample Input
3
2
3
1
输入解释：
队列里有三头牛，脾气分别为 2，3， 1。
Sample Output

7
输出解释：
2 3 1 : 初始序列
2 1 3 : 交换脾气为3和1的牛(时间=1+3=4).
1 2 3 : 交换脾气为1和2的牛(时间=2+1=3).
题解
置换群2333
来自novosbirsk的题解
1.找出初始状态和目标状态。明显，目标状态就是排序后的状态。
2.画出置换群，在里面找循环。例如，数字是8 4 5 3 2 7
明显，目标状态是2 3 4 5 7 8，能写为两个循环：
(8 2 7)(4 3 5)。
3.观察其中一个循环，明显地，要使交换代价最小，应该用循环里面最小的数字2，去与另外的两个数字，7与8交换。这样交换的代价是：
sum – min + (len – 1) * min
化简后为：
sum + (len – 2) * min
其中，sum为这个循环所有数字的和，len为长度，min为这个环里面最小的数字。

4.考虑到另外一种情况，我们可以从别的循环里面调一个数字，进入这个循环之中，使交换代价更小。例如初始状态：
1 8 9 7 6
可分解为两个循环：
(1)(8 6 9 7)，明显，第二个循环为(8 6 9 7)，最小的数字为6。我们可以抽调整个数列最小的数字1进入这个循环。使第二个循环变为：(8 1 9 7)。让这个1完成任务后，再和6交换，让6重新回到循环之后。这样做的代价明显是：
sum + min + (len + 1) * smallest
其中，sum为这个循环所有数字的和，len为长度，min为这个环里面最小的数字，smallest是整个数列最小的数字。

5.因此，对一个循环的排序，其代价是sum – min + (len – 1) * min和sum + min + (len + 1) * smallest之中小的那个数字。

6.我们在计算循环的时候，不需要记录这个循环的所有元素，只需要记录这个循环的最小的数及其和。

7.在储存数目的时候，我们可以使用一个hash结构，将元素及其位置对应起来，以达到知道元素，可以快速反查元素位置的目的。这样就不必要一个个去搜索。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define inf 1000000000
using namespace std;
inline ll read()
{
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int n,gmn,cnt,ans;
int v[10005],id[10005],disc[10005];
int mn[10005],sum[10005],len[10005];
bool vis[10005];
int find(int x)
{
	int l=1,r=n;
	while(l<=r)
	{
		int mid=(l+r)>>1;
		if(disc[mid]>x)r=mid-1;
		else if(disc[mid]==x)return mid;
		else l=mid+1;
	}
}
void solve(int x)
{
	vis[x]=1;cnt++;
	len[cnt]=1;sum[cnt]+=v[x];mn[cnt]=min(mn[cnt],v[x]);
	int now=x;
	while(v[id[now]]!=v[x])
	{
		now=id[now];vis[now]=1;
		len[cnt]++;sum[cnt]+=v[now];mn[cnt]=min(mn[cnt],v[now]);
	}
}
int main()
{
	memset(mn,127/3,sizeof(mn));gmn=inf;
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		v[i]=read(),disc[i]=v[i],gmn=min(gmn,v[i]);
	sort(disc+1,disc+n+1);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		id[i]=find(v[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(!vis[i]&&i!=id[i])solve(i);
	for(int i=1;i<=cnt;i++)
	{
		int t1=(len[i]-2)*mn[i];
		int t2=mn[i]+(len[i]+1)*gmn;
		ans+=sum[i]+min(t1,t2);
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}