波兰表示法(前缀表示法)

 

波兰表示法, 也叫前缀表示法。

 

运算波兰表达式时,无需记住运算的层次,只需要直接寻找第一个运算的操作符。以二元运算为例,从左至右读入表达式,遇到一个操作符后跟随两个操作数时,则计算之,然后将结果作为操作数替换这个操作符和两个操作数;重复此步骤,直至所有操作符处理完毕。因为在正确的前缀表达式中,操作数必然比操作符多一个,所以必然能找到一个操作符符合运算条件;而替换时,两个操作数和一个操作符替换为一个操作数,所以减少了各一个操作符和操作数,仍然可以迭代运算直至计算整个式子。多元运算也类似,遇到足够的操作数即产生运算,迭代直至完成。迭代结束的条件由表达式的正确性来保证。下面是一个例子,演示了每一步的运算顺序: 

其特点是操作符置于操作数的前面,因此也称做前缀表示法。如果操作符的元数(arity)是固定的,则语法上不需要括号仍然能被无歧义地解析 

 

计算方法:

 

运算波兰表达式时,无需记住运算的层次,只需要直接寻找第一个运算的操作符。以二元运算为例,从左至右读入表达式,遇到一个操作符后跟随两个操作数时,则计算之,然后将结果作为操作数替换这个操作符和两个操作数;重复此步骤,直至所有操作符处理完毕。因为在正确的前缀表达式中,操作数必然比操作符多一个,所以必然能找到一个操作符符合运算条件;而替换时,两个操作数和一个操作符替换为一个操作数,所以减少了各一个操作符和操作数,仍然可以迭代运算直至计算整个式子。多元运算也类似,遇到足够的操作数即产生运算,迭代直至完成。迭代结束的条件由表达式的正确性来保证。下面是一个例子,演示了每一步的运算顺序:

− × ÷ 15 − + 1 1 3 + 2 + 1 1 =

− × ÷ 15 − 2     3 + 2 + 1 1 =

− × ÷ 15 5         3 + 2 + 1 1 =

− × 3              3 + 2 + 1 1 =

− 9                  + 2 + 1 1 =

− 9                  + 2 2     =

− 9                  4         =

5

等价的中缀表达式:  ((15 ÷ (7 − (1 + 1))) × 3) − (2 + (1 + 1)) = 5

下面的伪代码用一个stackprefix的值 。注意和上面的从左到右处理的算法不同,是从右往左扫描 , 但两个算法计算出来的值相同。(其实这个算法相当于后续遍历时候先遍历右子树)

Scan the given prefix expression from right to left

for each symbol

 {

  if operand then

    push onto stack

  if operator then

   {

    operand1=pop stack

    operand2=pop stack

    compute operand1 operator operand2

    push result onto stack

   }

 }

return top of stack as result

 

Applying this algorithm to the example above yields the following:

− × ÷ 15 − 7 + 1 1 3 + 2 + 1 1 =

− × ÷ 15 − 7 + 1 1 3 + 2 2     =

− × ÷ 15 − + 1 1 3 4         =

− × ÷ 15 − 2     3 4         =

− × ÷ 15 5         3 4         =

− × 3              3 4         =

− 9                  4         =

5

This uses the same expression as before and the algorithm above.

− × ÷ 15 − 7 + 1 1 3 + 2 + 1 1

 

Token

Action

Stack

Notes

1

Operand

1

Push onto stack.

1

Operand

1 1

Push onto stack.

+

Operator

2

Pop the two operands (1, 1), calculate (1 + 1 = 2) and push onto stack.

2

Operand

2 2

Push onto stack.

+

Operator

4

Pop the two operands (2, 2), calculate (2 + 2 = 4) and push onto stack.

3

Operand

3 4

Push onto stack.

1

Operand

1 3 4

Push onto stack.

1

Operand

1 1 3 4

Push onto stack.

+

Operator

2 3 4

Pop the two operands (1, 1), calculate (1 + 1 = 2) and push onto stack.

7

Operand

7 2 3 4

Push onto stack.

Operator

5 3 4

Pop the two operands (7, 2), calculate (7 − 2 = 5) and push onto stack.

15

Operand

15 5 3 4

Push onto stack.

÷

Operator

3 3 4

Pop the two operands (15, 5), calculate (15 ÷ 5 = 3) and push onto stack.

×

Operator

9 4

Pop the two operands (3, 3), calculate (3 × 3 = 9) and push onto stack.

Operator

5

Pop the two operands (9, 4), calculate (9 − 4 = 5) and push onto stack.

The result is at the top of the stack.

 calc_prefix.cpp 代码实现如下 :

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<stack>
using namespace std;
bool is_op(char c)
{
    return c=='+' || c=='-' || c=='*' || c=='/';
}

int calc(char op, int l, int r)
{
    switch(op)
    {
        case '+':
            return l+r;
        case '-':
            return l-r;
        case '*':
            return l*r;
        case '/':
            return l/r;
    }
    return 0;
}

int calc_prefix(char* buf)
{
    stack<int> st;
    int i=strlen(buf)-1;
    while(i>=0)
    {
        printf("%d\n", i);
        if(is_op(buf[i]))
        {
            int l, r;
            l=st.top(); st.pop();
            r=st.top(); st.pop();
            st.push(calc(buf[i], l, r));
            --i;
        }
        else if(isdigit(buf[i]))
        {
            --i;
            while(isdigit(buf[i]))
                --i;
            st.push(atoi(&buf[i+1]));
        }
        else
        {
            //white space
            --i;
        }
    }
    cout<<"stack size: "<<st.size()<<endl;
    return st.top();
}

int main()
{
    char buf[256];
    while(gets(buf))
    {
        cout<<calc_prefix(buf)<<endl;
    }

    return 0;
}

 输入:

- * / 15 - 7 + 1 1 3 + 2 + 1 1

输出:

5

 

参考:

http://en.wikipedia.org/wiki/Polish_notation 及其中文链接

 

 

 

posted on 2014-09-17 14:32  katago  阅读(4401)  评论(0编辑  收藏  举报