树链剖分

树链剖分介绍

树链剖分是什么？主要用来处理什么问题

树链剖分（Heavy-Light Decomposition, HLD）。

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1. 树链剖分的定义

树链剖分是一种 把树分解成若干条链 的算法技巧。
在一棵树上，我们把每个节点的“重儿子”挑出来（通常是子树规模最大的儿子），把它和父亲连成 重边，其它边就是 轻边。

这样整棵树就被拆分成若干条 重链，并且有一个关键性质：

• 从根到任意一个节点的路径上，**轻边的数量至多是 \(O(\log n)\) **。

因此，任何树上的一条路径，都可以用 若干条（ \(\log n\) 级别）连续的链 来表示。

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2. 树链剖分的主要用途

它的核心目标是把 树上的路径/子树问题 转化为 线段树/树状数组上的区间问题，从而可以在 \(O(\log^2 n)\) 的时间里解决很多复杂问题。

常见应用有：

1. 路径查询
   • 比如：查询树上两点路径上的最大值、最小值、和、异或值……
   • 利用树链剖分把路径分解成若干段连续区间，用线段树维护。
2. 路径修改
   • 比如：把树上某条路径上的点权/边权全部加上一个数。
   • 仍然是拆成若干区间，交给线段树做区间修改。
3. 子树查询 / 修改
   • 如果我们按照 DFS 序（欧拉序）编号，每个子树对应一个连续区间。
   • 可以直接用线段树维护子树问题。
4. 更复杂的树上问题
   • 树上差分、树上 DP 的优化。
   • 结合树剖 + 数据结构，可以处理动态树上的很多操作。

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树链剖分前置知识是什么

学 树链剖分（HLD） 之前，最好先掌握一些 图论 + 数据结构的基础知识，这样学习起来会轻松很多。

我给你分几个层次讲：

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1. 树的基本知识 🌳

树链剖分是树上的高级技巧，所以树的基础必须牢固。
需要掌握的内容有：

• DFS遍历
  • 如何用 DFS 遍历树，记录进入时间 / 退出时间（欧拉序）。
• 子树大小
  • 会写 dfs(u) 统计每个节点子树大小。
• 父亲与深度
  • 在 DFS 时记录 fa[u]（父亲节点）和 dep[u]（深度）。

👉 这些是后续判断“重儿子”和路径分解的核心。

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2. 最近公共祖先 LCA

为什么要学 LCA？

• 树链剖分常常需要把路径 \((u,v)\) 拆解成 \((u,LCA(u,v))\) 和 \((v,LCA(u,v))\) 。
• 当然，在 HLD 里，LCA 也能用树剖自带的 top[] 数组来求，但原理和 LCA 高度相关。

所以至少要会：

• 倍增法 LCA （O(log n) 查询）。
• 或 Tarjan 离线 LCA。

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3. 数据结构：线段树 / 树状数组

树链剖分的最终目标是 把树上路径/子树问题转化为区间问题。
所以你必须熟悉：

• 线段树：区间修改、区间查询。
• 懒标记：比如区间加法、区间乘法、区间取最大值等。

如果连线段树都不会写，HLD 基本没法落地。

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4. DFS 序（欧拉序）与子树映射

你需要理解：

• 在 DFS 时给每个节点一个时间戳 dfn[u]。
• 子树的所有节点编号是 一段连续区间。
  • 例如，[dfn[u], dfn[u] + size[u] - 1] 对应 u 的整棵子树。
• 这是处理 子树查询/修改 的关键。

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5. 树剖专属概念

等你有了以上基础，就能自然地理解树剖里的几个数组：

• son[u]：重儿子（子树最大）
• top[u]：当前重链的链顶
• dfn[u]：DFS 序编号
• rk[pos]：DFS 序对应的节点
• fa[u], dep[u], siz[u]：父亲、深度、子树大小

这些概念本质上都是 DFS + 子树大小 的应用。

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✅ 总结

树链剖分的前置知识：

1. 树的基本 DFS（父亲、深度、子树大小）
2. 最近公共祖先（LCA） 的思想
3. 线段树/树状数组（区间修改 + 区间查询）
4. DFS 序与子树映射
5. 熟悉 基本图论建图（邻接表存树，dfs 遍历）