集训杂记-省选篇

12/3

来到了衡实。

要先找回代码的感觉……做一做联赛 T4 吧。

12/4

被卡常了。

我不做了。

学网络流去。

最小割

一直不太清楚这个东西是干什么的……果然需要多做一些题掌握一些模型？

另外割成两块不是指彻底变成两块，而是源点和汇点之间不可达。

做了两个题，感觉好魔幻啊。

还是说尽量去总结一下。

首先最小割的特点，就是对于一个类似于二分图的东西（左右是源点和汇点，中间是一些其他的点相连），选出一些边，满足如下性质：

• 割完之后的任意一个点要么满足能从源点到达，要么能到达汇点，并且只满足一个条件。

• 当满足上述条件时，容易发现任何一条从源点到汇点的路径都必须至少断掉一条边。

首先加无穷边表示这条边不可断确实是一个常用的技巧。

然后在两边的边的断开有一种统一性。

就是为了满足上面的条件而形成的性质。

这两个题有一个特点，就是每个点有两种选择。

在图上分别对应源点和汇点，最终怎样联通就说明怎么选。

这俩题还是这样的：两个点同时选会有额外的贡献。

为了把这额外的贡献表示出来，在图中多加一个虚拟的点和一条平行的路径，在对应的一边相连，再将两个点和那个虚拟节点相连。

然后你发现，如果两个点中有一个点不选这一边，也就是那一条边被断掉了，那么多连的那一条边也一定会被断掉，否则就没有与右边完全断掉了。

这样就实现了对应的操作，同时由于算的都是断掉的边的总和，所以一般就会去算舍弃的总和。

12/5

大概是做了一整天最小割的样子，基本上就是满足上面的条件而出现的比较好的性质。

晚上搬宿舍楼了，从一层楼的六楼搬到另一层楼的六楼。

这辈子再也不想爬楼了。

12/6

突然意识到还有两天就学考了。

有上下界网络流

其实就相当于是多了一个下界的限制？

好的，做了两个题。板子刷得还是挺顺利的，所以稍微来总结一下。

把整个的网络流都总结一下吧。

首先，网络流是什么呢？大概是可以抽象成有若干个指标，然后他们之间有一些相互限制或者相互作用，然后要给这些指标分配相应的值以达成某些目的。

听起来很 DP，但是这些题目往往数据范围不大，限制比较复杂，适合用图表示而不是数字，并且分配的数字要求精细，所以就可以网络流了。

正常的网络流大抵就是这样，解决类似于分配指标的问题。

之后是费用流，就是在保证最大流的前提下给每条边上的每个单位流量又加上了费用，当然还有可行费用流，就是不要求一定是最大流。

这东西好像不太好抽象的样子，抽象出来也比较明显？

然后是最小割，这个就比较抽象了，第一眼甚至不知道他是干什么的。

在某些问题中，指标之间的相互作用不仅仅是限制有无，有时还会产生额外的贡献（比如某些矩形内部栅栏状的交点问题）。这样就不适宜用普通的网络流求解了。因为流的上限限制是固定的，并不能有额外的贡献。

于是有了最小割。大体思想大概是把源点和汇点分别看成是两个状态，割完以后与那个联通就相当于选择了哪个状态，算的时候先加上所有状态的贡献，再把没有被选上的状态减去。

当然也有以最小割直接作为答案的题，最小割的题目中流量分配是很关键的问题。

顺带一提，此时流量上限即使为零也是可以出现在最小割的图中的，两者并没有什么直接影响。

最后就是上下界全家桶了.

所谓上下界,不过是在原本只有上界的基础上加了一个下界限制罢了。通过几遍最大流的调整可以仅仅增加一些常数来解决问题。

正如课件所说的,核心思想是调整。对于无源汇上下界，首先给每条边加载下界流量，然后建出对应的残量网络，由于此时想要满足总体流量守恒的话，残量网络必定是不守恒的（加载下界流量后不流量守恒的情况下），所以建一个虚拟的源点和汇点，负责平衡对应的流量。

对于有源汇的，把首尾相接就变成无源汇的了。

如果要求是最大流，跑完上面的流之后再在剩下的原图上跑最大流。

最小流只需要反向跑最大流就行。

12/13

来到了首师附。

在广大 HE oier 和 **CCF 的不懈努力下，HE 省队名额成功从 \(15\) 个变成了 \(7\) 个。

仍然保留三分之一校线。

这副本难度直接到地狱级了。

概率很小，极小，大家心知肚明。

那又怎样呢？

“我都走到这里了，你好歹让我正式上一次省选考场再退吧？”

释然的同时，心里多少还偷偷抱着一点点侥幸的期许。

12/14

好\(^{tm}\)大的雪啊……

做了两天下午这个七彩树,收获了还不少。

首先有一个，如果要统计树的子树内的颜色数，有一种是直接拍扁成序列然后上主席树。

但是我们注意到他查的是整个子树里面的，意味着可以进行某些类似于差分的操作。

比如两个颜色相同的的节点，它们什么时候会算到一起呢？就是查询点在其 \(lca\) 及以上的时候。

所以直接把多出来的贡献放到 \(lca\) 上就可以啦。

（此处如果多想一步，对于普通序列上的颜色段问题，是否也可以弄成一棵树？大抵是不太行，毕竟查询区间很跳跃）

如果我再问，不是整个子树了，我们只查节点向下若干层的呢？

考虑一层一层地加入节点，动态维护 \(lca\) 上的权值信息，对每个序列用 \(set\) 维护当前已入选段。

如果我再问，我强制在线呢？

我们发现虽然有两个维度，但是父子节点之间的信息有很大联系和共通性，因此可以主席树，以深度为纵轴，节点编号为横轴，提前扫一遍就解决了。

12/26

我去我怎么又咕咕咕了再这样下去成鸽王了

元旦不放假，欧耶！

LCT

可以动态维护一些树上信息，主要包括断边和连边。同时能够隔离出一整条路径，各种操作方面都比较灵活，在维护最值方面也有一定的优势。

劣势就是代码又长又不好调细节还贼多，还用到了 \(Splay\)，感觉不复习的话就要变成黑盒了。

稍微总结一下这几天出现的错误。

• 初始化的时候把 \(return\) 写在 \(for\) 里面。

• 没有对 \(0\) 进行正确的初始化。

• \(rotate\) 里面写错。

• 下传标记的错误。

• 基本上很难实现边权下放，所以以后直接把边抽象成一个点得了。

• 连边和断边的时候如果不判断是否合法还要多连一下，所以以后直接判断一下就完了。

• 下标范围弄错。

• 注意 \(access\) 或者 \(findroot\) 操作之后的当前根是什么。

• 区分 \(makeroot\) 和 \(access+Splay\) 的区别。

后缀数组

然后是本来打算今天开后缀数组，但是好像时间不够了，所以是明天的事了。

12/27

后缀数组

就是对一个字符串的所有后缀，维护每个后缀的排名和每个排名对应的后缀。

首先是排序。

倍增的排序做法差不多也是能够看懂，他说的第二关键字排序的实质……

是因为除了 \(0\) 之外本身就是有序的吧？

所以是只需要把 \(0\) 放到前面，然后剩下的原序放入即可。

\(sa\) 数组既是编号，也是起始位置。

哦，我算跳到外面的是第二关键字起点跳到外面的。

上面那个枚举的是第一关键字，下面这个枚举的是第二关键字。

这个时候我怎么可能会算上出去的那些呢！

\(id,sa\) 返回的就是对应排名的编号，\(rk,oldrk\) 返回的就是对应编号的排名，这个比较绕，要搞明白。

哈哈

通过一些应用，大概是了解了后缀数组的用处了。

后缀数组是有用的，是因为很多情况下我们并不关注后缀的情况。

由于字符串比较的特性，如果前面我们关注的部分不同，他会给出合理的判断；如果前面关注的部分相同，那么后面谁大谁小也无所谓了。

\(height\) 数组

对于字符串来说，排序本身也是一种判定相似度的方法。

那么统计 \(lcp\) 的 \(height\) 也是很好用的。

12/28

今天是个好日子。今天既是肯德基疯狂星期四，又是德克士卡友日。可惜我在学校。

喵星球上的点名

非常神奇的一道题。但是感觉最神奇的是我居然把想到的巨麻烦无比的思路写出来了……

题解做法：

首先把所有串杂糅到一起，然后处理处 \(height\) 直接找到每个串所处区间，复杂度 \(O(n)\)

然后就变成了两部分。一个是统计区间内颜色种类，一个是统计每种颜色被多少区间覆盖。

第一问使用莫队，复杂度 \(O(n\sqrt n)\)

第二问对于每一种颜色，使用差分。当这种颜色最开始出现时，统计剩下还有多少区间；当这种颜色最后一次出现时，统计剩下还有多少区间。两者减去，复杂度 \(O(n)\)

我的做法：

首先懒得把所有串杂糅到一起，选择求出 \(sa\) 之后两次二分找出区间。好写，赢；复杂度 \(O(n\log n)\) 还有一个 \(2\) 的常数，输；不用 \(height\)，赢。

第一问选择使用 HH的项链 离线直接淦，复杂度 \(O(n\log n)\)，赢。

第二问使用主席树直接淦，复杂度 \(O(n\log n)\)，输。

理论总复杂度 \(O(n\log n)\)，赢；自带超级大常数，输；好写，赢；跑得比 \(jjq\) 快，赢麻了。

12/29

今天有模拟赛

这是非常危险的。无论是前半个小时死机重启，还是三个半小时的死磕一题，还是后面用半个小时仅写暴力不想正解。

你说得对，但是我 \(T3\) 没开 \(long long\) 痛失赛时首 \(A\)，唉。

T1，从后往前来说，后面的人的选择是固定的，必定是选比较小的那一个，那么前一个人就是在后面的人选剩下的范围里面选比较小的那一个。

感觉我赛时想到这一层就可以直接开做了。

证明的话，就是归纳证明。当前的人不选那一个的话，前面的人依旧按照对应的规则选，选了 \(A,B\) 之外的数就是把问题推给前面的人，选了 \(A,B\) 中的一个数，这个问题就解决了，另外一个就一定不会被选。

然后就证明了。

关于转移的优化，也是比较有教育意义的。对于某一个来说，前面的人对他没有影响，在 \(p\) 的转移过程中后面的影响只会不断增加，那么记录每一个位置就能够单调移动了。

T2，交互题，阴间数学题，内存微操题，buff 叠满了。

学到的比较有用的（？）就是 \(n\) 个 \((0,1)\) 随机变量的期望最小值为 \(\frac{1}{n+1}\)

T3，要是开 long long 我就场切了

是一堆 \(RMQ\) 和巨多二分的无意义堆砌，感觉比较好的是使用后缀和+二分求区间前缀最大值和。

大雾

今天是怎么做到弥漫一整天的雾的？甚至一直都是那种“十米之外，人畜不分”的状态。

12/30

品酒大会

为啥要用并差集啊？直接单调栈扫一遍不是也可以吗？

恼了，不要被诈骗了。

一时兴起的 tui 歌

歌剧2 Опера №2

Дом мой достроен,
家盖好了，

Но я в нем один.
里面的我孑然一身。

Хлопнул дверь за спиной
房门在身后砰然作响。

Ветер осенний стучится в окно,
秋风拍打着窗户，

Плачет опять надо мной.
凄然，为我而泣。

Ночью гроза, А на утро туман.
夜雷阵阵，晨雾弥漫。

Солнце остыло совсем.
阳光已彻底冰冷。

Давние боли Идут чередой.
久远的痛接踵而至，

Пусть собираются все.
让大家都准备好吧。

Wuuuuuuuoooooooooooooooooooo~~~

Wuuuuuuuoooooooooooooooooooo~~~

Дом мой достроен,
家盖好了，

Но я в нем один.
里面的我孑然一身。

Хлопнул дверь за спиной.
房门在身后怦然作响。

Ветер осенний стучится в окно
秋风拍打着窗户，

Плачет опять надо мной.
凄然，为我而泣。

Это судьба, а судьбу не могу
这就是命运，

Я ни о чем просить.
无法祈求改变。

Только я знаю, как после меня
我只知道，在我走之后，

Станут ветра голосить
是风儿无尽的呻吟。


Wuuuuuuuoooooooooooooooooooo~~~

Wuuuuuuuoooooooooooooooooooo~~~

双倍回文

一堆无意义的巨大复杂麻烦做法被喵了（这其中也包括你的 PAM）。

才意识到一个字符串里面本质不同的回文串只会有 \(n\) 个。

因为每次从前面转移 \(k\) 过来的时候，那个回文串是一样的，没有必要计入答案。

所以只在每次暴力扩展的时候统计答案即可。

怎么可以这么优美啊！

12/31

PAM 回文自动机

感觉一般优美。

用来处理每个点结尾的本质不同的回文串的。

其实还是挺好的。

但是这种题的做法好像都挺多的样子。

1/1

元旦快乐~

SAM 后缀自动机

确实讲得挺乱的。

但是稍微总结一下，就是 \(SAM\) 上面的每个节点都可以认为是对应着原本的串中的一个前缀，从起点到这个点的每一条路径都是这个前缀的某一个后缀。

这些后缀的共同点是他们在原串中的出现位置的集合是相同的，因此对于某一个前缀，表示它的节点不一定唯一；在一个节点内也不一定能够表示完所有的后缀。

但是这些后缀的长度，在一个节点内一定是连续的。因为在原串中的出现位置是一个随长度减小单调不降的东西。

为了将这些分散开的后缀结合起来，定义一个后缀链接，由当前节点连向上一个节点，能够把他们的后缀集合完美地拼起来。

在构建的时候，要考虑的事情是构建出一个连续的后缀集合，只需要在之前连续的区间上连边就行了，通过后缀链接就能够找到连续的区间。

如果途中发现已经有了对应的转移边，并且这个转移边还是最大边，这也就跟我们之前的区间连上了，直接把后缀链接连到这里即可。

如果不是最大边，我们需要把这个点拆成两个点，一个让他是最大边，一个是剩下的东西。分别维护一下这两个点就对了。

现在就只差复杂度的证明了！

好的，证明也会了。

但是现在题做不出来……

1/2

我发现了，在 SAM 极优的线性做法和普适性下，空间永远比时间先颤抖。

1/4

之前是一直在改模拟赛，所以啥都没写。

昨天的模拟赛

首先发现了自己的问题，就是心态很容易受到前两个小时影响。要是前两个小时有什么建树的话还比较好，要是没有基本上就寄了。

而且我自己调节能力还贼烂。

所以之后要么是专心做题，不去想有的没的，要么能够快快回复过来，这样太受罪了。

T1 是树剖的神秘题，但是可以用点分树做，只需要对每个节点维护一个 set 一棵线段树再总体维护一个可删堆。

T2 是 min-max 容斥 + 轮廓线 dp 的神秘题，所以咕了。

T3 是一个根号分治的好 dp 题，总的来说就是利用各种 dp 性质进行优化，学到了可以多个数的滚动。

GSAM 广义后缀自动机

实际上就是能够处理多个串的 SAM，一般来说直接把 las 放到起始点重新跑一遍就行了，但是要特判是否有已有边，以及是否要新建节点。

相当于是在 tire 树上面进行 dfs，如果直接给出 tire 树的话，不能直接插入子串，可以 bfs。

1/5

熟悉的文章

SAM 不能够当做黑盒，它的 fa 数组的意义和用法都很重要。

一开始拿优先队列做的，居然能过去，我哭死。

当然可以简化成维护一个单调区间内的最小值，太久没做过优先队列都忘了这玩意能用优先队列维护了。

维护一个单调递增的优先队列即可。

每次从队尾插，然后弹队首查队首。

1/7

你以为我咕了两天，实际上我被恶心了两天。

你的名字

人话题面：给定一个模板串，每次询问给定一个字符串和模板串的一个区间，求字符串里面有多少本质不同的子串满足没有在给定区间内出现过。

这要是单次做方法很多，但不是每一种方法都能够优化到多次询问。

考虑求在给定区间内出现过的不同子串。

我们能够考虑到一些事情，比如说因为排除掉的子串也是本质不同的，所以肯定也是要在当前询问串的 SAM 上面跑的。

另外，这玩意也是一个单调性的东西。也就是说只需要对每一个前缀维护其能够匹配上的最大后缀长度即可。

我们可以记一个类似的长度标记，然后最后统一 dfs 更新一下。

在进行匹配的时候，如果当前匹配不上，就给模板串跳父亲节点，直到跳到跟或者能够匹配上为止。

这是比较暴力的做法，对两边都建一遍 SAM。

但是现在我们有了多次询问的区间限制，咋整呢？

可以想到我们实际上是要维护某一个节点所代表的串在一个前缀里面最后出现的位置，再拿它和左端点比较一下就行了。

所以我们干脆对每一个节点维护其出现位置的集合，用线段树合并就可以。

这里线段树合并要魔改一下可持久化，以及有左端点限制之后长度的变化从单调递减变成了可能是先增后减，要判断一下。

linux 编译开无限栈

ulimit -s 512000

1/8

又是被恶心的一天。

本来比赛部分分拿得挺好，赛后改的时候我看见 T2 一个 dp 似乎比较好改，就没管大家都在改 T1。

想的是等大家改完 T1 改 T2 的时候我把我不会的问一问也就过了，改 T1 的时候也有更多的坑可以参考。

结果是一整天都没把 T2 调出来，而且大家没人改 T2？

输，输麻了。

结合之前也是这样，一道题，虽然他有难度，但是首先需要半天思考，然后需要半天写出来。

这样一天写一道题，或者一道题都写不了，感觉效率很低。

但是仔细想一想，之前 Apj 说一道题最多想两个小时。

是不是我思维密度不够且码力不强才导致这样的呢？

啊啊啊恼恼恼

1/10

还是之前的那个题。

太恶心了哥，不想被恶心所以过来推歌了。

为什么说推歌好呢？因为我都是手打歌词，过程中就能够逐渐平静下来。

推歌

人间不值得-黄诗扶

渡口爱上深山，

薄雪中意晚莲。

夕阳熬红双眼 想等来晨钟聊聊天。

心上人在梅边柳边，

偏不在身边，

小白蛇浇透临安 许仙却没带伞。


少女压坏秋千，

书生十年落选。

命运总是挑挑拣拣 诸事不成全。

小和尚没化到缘，

又路过烧鸭店。


拈杯酒 眯着眼，

说专心看人间，

看长安 建安 与潘安

都想沾一沾。

神仙掐指算，

此去少圆满，

得来失 聚了散 千万莫求全。

借泥炉 烧碗饭，

在檐上种炊烟，

把小寒 大寒 与心寒

都来暖一暖。

好提胆闯人海，

再探风月关，

兜兜转转，八十一难，

我们走着看。


竹马去寻竹马，

青梅意兴阑珊。

伯牙琴弦摔断 叔夜刚绝交山巨源。

知己半路就散，

结发总另结新欢，

小情侣恰好遇见 喜鹊没来上班。


长生岂能如愿，

古稀尚靠垂怜，

老病倒比莺莺燕燕 多陪二十年。

小嫦娥偷吃灵药，

却反而羡人间。


拈杯酒 眯着眼，

说专心看人间。

看长安 建安 与潘安

都想沾一沾。

神仙掐指算，

此去少圆满。

得来失 聚了散 千万莫求全。

借泥炉 烧碗饭，

在檐上种炊烟，

把小寒 大寒 与心寒，

都来暖一暖。

好提胆闯人海，

再探风月关，

兜兜转转，八十一难，

我们走着看。


人生在世不称意呀，

失眠或失恋。

只劝你来把个盏，

侃呀么侃大山。


喝碗大酒撑条船，

说今生不靠岸，

去天涯海角浪个遍 失意当尝鲜。

这一路手握剑，

身侧有千帆。

时不时，回头看看，

百味是人间。


时不时，也睡个懒觉，

醒来 多加餐。

这首歌属于是为数不多的我会向别人推荐的歌，建议听一听。

那种半白话半戏腔，听起来很仙的感觉。

而且你不觉得歌词也很好么！

UPD：发现原唱是黄诗扶，但是没有听过她唱的。反正大柯唱的很好听。

一般题

题解里面已经说了的就不说了，这里说一些题解里面没有说的。

首先预处理的时候也要考虑到多余的东西变成 \(0\) 的情况。我没有考虑这个导致最后一步一直错。

然后设的 dp，题解里面说的是 \((i,j,k)\)，其中 \(j\) 代表有多少组 \(0\) ~ \(i\)，但是这样并不好转移，应该是 \(0\) ~ \(i-1\) 比较好转移。

另外转移的时候，首先按照最小值贡献的时候，因为不管是算到加入的集合里面还是用于抵消上面传下来的那些组，都算是有这个最小值。同时你统计答案的时候只要有这个最小值存在就行，所以枚举加入多少个 \(p\)，意义实际上是总的个数。同时加入 \(0\) 个 \(p\) 的时候，由于最小值没有变化不能够计入答案，要放在最后统计。

在每一层的时候，从上面弄了多少个组下来，首先要在这一层全都抵消掉，不够的话就换成这一层的组，不然会重。

最后 \(0\) 的时候，如果仍然存在一些组，不能留存下来 \(0\)，因为后面也是用这些留存下来的 \(0\) 去抵消那些组，会算重。

如果当前的值是原本集合里面的最小值，统计答案的时候还是要把剩余的下界设成是 \(sum\)，但是要额外加上一个 \(f_{i,0,0}\)，同时这里也要对 \(0\) 特殊处理。

下次写题解的同学没有钱买纸我可以资助你的，咱真的不用这么节省空间的。

1/11

关于今天

今天是腊月初一，根据“小孩小孩你别馋，过了腊八就是年”理论，距离过年还有 \(7\) 天。

今天的模拟赛

T1 赛时想了大多数时间，想的贪心，结果是区间 dp，然后决策单调性优化，诶，恼了。

T2 还是遇到概率期望，然后硬推式子，各种优化预处理。

T3 大分讨 dp 题，嗯，之后会补的。

早上困得雅痞怎么办啊 qwq

晚上睡得很好，睡得呼呼的还做梦，第二天醒来困得不行。

是冬天天气 buff？

反正困的时候打模拟赛实在是太……

1/12

推歌

吓，为啥我跟大家小时候的回忆不一样？

走在乡间的小路上-乌兰图雅

走在乡间的小路上，暮归的老牛是我同伴。

蓝天配朵夕阳在胸膛，缤纷的云彩是晚霞的衣裳。

荷把锄头在肩上，牧童的歌声在荡漾。

喔喔喔喔他们唱，还有一支短笛隐约在吹响。

笑意写在脸上 哼一曲乡居小唱，

任思绪在晚风中飞扬。

多少落寞惆怅 都随晚风飘散，

遗忘在乡间的小路上。

笑意写在脸上 哼一曲乡居小唱，

任思绪在晚风中飞扬。

多少落寞惆怅 都随晚风飘散，

遗忘在乡间的小路上。

荷把锄头在肩上，

牧童的歌声在荡漾。

喔喔喔喔他们唱，

还有一支短笛隐约在吹响，

还有一支短笛隐约在吹响。

如果你有一个可以定闹钟的老式计算器，你就会发现闹钟音乐的第 \(0\) 首歌就是这个，这也就是我为什么会接触到这首歌。

我把它定义为我的儿时回忆，但是，实际上，恼，它已经跟我爹一般大了。

行列式

这放假之前学一点新东西多是一件美事啊

定义奇排列与偶排列，其中的奇偶性指的是排列中的逆序对的奇偶性。

交换其中任意两个元素，其余元素不变，称为一次对换。

一次对换之后排列的奇偶性会发生变化。

证明

记 \(inv_i\) 为第 i 个数后面比他小的数字的个数。

假设我们交换了 \(a_i\) 和 \(a_j\)，中间有一段区间是 \([i+1,j-1]\)。显然不会对 \([1,i-1]\) 和 \([j+1,n]\) 产生影响。

对于中间的区间，比 \(a_i\) 和 \(a_j\) 都小或者都大的，没有影响。值域在它们之间的，\(a_i\) 和 \(a_j\) 分别会产生 \(1\) 的贡献，也对奇偶性没有影响。

同时，交换之后的 \(a_i\) 和 \(a_j\) 也会产生 \(1\) 的变化量，所以奇偶性会改变。

先记一个行列式的式子:
对于一个 \(n\times n\) 矩阵 \(A\)，其行列式 \(\det (A)\) 为：

\[\det (A)=\sum_{p}(-1)^{\tau(p)}\prod_{i=1}^n a_{i,p_i} \]

其中 \(p\) 是一个排列，所有的 \(p\) 即为 \(1-n\) 的全排列，\(\tau(p)\) 是 \(p\) 的逆序对个数。

一些操作及其性质：

• 交换矩阵的某两行或者某两列，矩阵的行列式变为原来的相反数。

• 转置矩阵的某一行和某一列，矩阵的行列式不变。

• 将矩阵的某一行或者某一列乘上一个数字，行列式也会乘上这个数字。

• 矩阵 \(A\) 中有一行（列）与其他两个矩阵 \(B，C\) 的和相同，其他部分相同，则有 \(\det (A)=\det (B)+\det (C)\)

• 矩阵中存在两行成比例则 \(\det (A)=0\)

• 将矩阵的一行（列）全部乘上一个值加到另一行（列）上面，矩阵的行列式不变。

还有代数余子式一类的玩意。

在原本的矩阵中选出 \(k\) 行和 \(k\) 列，选出来的这些叫做 \(k\) 阶子行列式 \(A\)，剩下的那些组成一个新的矩阵，有新的行列式，叫做 \(n-k\) 阶余子式 \(M\)。

\(A\) 在原本的矩阵中下标为 \(i_1,...,i_k\)（行）和 \(j_1,...,j_k\)（列）,那么称 \((-1)^{i_1+...+i_k+j_1+...+j_k}\times \det (M)\) 为 \(n\) 阶行列式 \(D\) 的 \(k\) 阶子式 \(A\) 的代数余子式。

对于单一元素 \(a_{i,j}\) 的余子式的含义是，下标为 \(i,j\) 的 \(1\) 阶子行列式的 \(n-1\) 阶余子式。设其余子式为 \(M_{i,j}\)，代数余子式为 \(A_{i,j}\)，有 \(A_{i,j}=(-1)^{i+j}\times \det (M_{i,j})\)

同时对于代数余子式的一些命题：

• \(n\) 阶行列式等于其某一行（列）的每一个元素与其代数余子式的乘积之和，即：

\[D=\sum_{j=1}^n a_{i,j}\times A_{i,j},i\in [1,n] \]

• \(n\) 阶行列式任意一行（列）的元素另外一行（列）的代数余子式乘积之和为 \(0\)。即：

\[\sum_{p=1}^n a_{i,p}\times A_{j,p} =0,i,j\in [1,n] 且 i\neq j \]

应用第一条性质和前面的操作，可以通过把矩阵消成上三角矩阵的形式后对于对角线求乘积，从而在 \(O(n^3)\) 时间内求出行列式。

1/19

补一下前面几天咕咕的内容~

省选联测 11

T1 一个树上 dp，本来转移比较麻烦，但是通过贪心策略可以简化转移。

T2 使用原根化乘法为加法优化背包 dp，使得每次转移相当于是循环移位再取并。继续优化复杂度的话可以考虑每次只要精确定位到哪一位增加了一就能变成真的，所以可以考虑哈希二分。类似于序列分治的方法找到所有变化的位置。

T3 最大团和补图一类的东西，没看懂。

省选联测 12

T1 观察题，但是也可以使用二次剩余。没有学过，感觉很有用，可以学一学。

T2 本身是一个区间 dp，但是因为不知道为什么决策点取到了一个 \(\frac{n}{\log n}\) 的上界，所以进行了一些奇奇怪怪的优化就过了。感觉其技术含量甚至不如打表。

T3 要进行一些转化然后使用同余最短路，效率很低就没看。

省选联测 13

T1 跟之前那个题很像，只不过变成了树剖维护单调栈，还有一些细节，所以赛时没调出来。

T2 一个很奇妙的数据结构题。对于加入的每一个点，我们维护它下一个不能够取一的位置，这个要用优先队列加入，优先队列还要支持删除操作。

当前已选集合使用上面的优选队列和栈共同维护，下一个不能够取到一的位置用 \(bitset\) 或者线段树维护，之后我们还要在每一列的位置维护可选点的集合，可以用 \(set\) 维护。

主要是赛时没把策略总结出来，导致没有拿到暴力分。

T3 好题。

.

感觉最近发现之前利用率不高了，改题还挺好的。

1/27

发现咕了好多天了，反正还不上了，咕就咕吧……

线性基

基础定义可能要捯饬到线性代数高斯消元那一堆……

所以还是这么定义吧：对于一个集合的数，对应另外一个名为“线性基”的集合，这个集合里面的任意一个非空子集异或和都不为零且异或和能够表示出第一个集合内的所有数字。

（假设这里有一个插入的板子）

由插入的板子可以看出，我们所选的基底最多只有 \(\log\) 个，并且不会有两个基底最高位相同。

还有一些性质。

• 不管一个集合的数字插入的顺序如何，最后得到的线性基大小是确定的。

我不会证。

• 线性基内不会存在两个异或和相同的子集。

不然异或和就是 \(0\) 了嘛……

• 设原集大小为 \(n\)，线性基大小为 \(x\)，那么线性基一共能够表示出来的数字有 \(2^x\) 种（显然），如果考虑 \(n\) 个数字能够异或出来的所有 \(2^n\) 个数字，你会发现每一种数字恰好有 \(2^{n-x}\) 个。

小剧场

curly：大豆，这个我看不懂。

SoyTony：稍等，我去润色一下。

……

SoyTony：我有一个好的，我直接全都删了。你刷新一下。

curly（刷新）

curly：诶，还真没了。

所以我来证明一下。

首先 \(2^x\) 个数肯定是互不相同的，那么我们考虑对于不选的那些数字能够异或出来的所有数字（共有 \(2^{n-x}\)），不妨把它们记作 \(a_i\)，选的异或出来的数字记作 \(b_i\)。

总体组合出来的数字可以看做是 \(a_i \oplus b_j\)，对于任意一个 \(a_i\)，它异或上那 \(2^x\) 个数得到的肯定互不相同，但是这个线性基最多又只能够表示 \(2^x\) 个数，所以必定是在每一个 \(b_i\) 上面加一次出现次数，所以最后每一个的出现次数就都是 \(2^{n-x}\) 了。

1/29

昨天过得挺迷的，凌晨两点半 CF 出完分回去睡觉，这次成功把保安都熬睡着了，但是回去的时候又把宿舍里留守那哥们弄醒了(

然后经过四个多小时的优质睡眠过来打模拟赛，开题的时候是类似于这样的：

SoyTony：这个 T2 的题目名好熟悉啊 -> 原题+1
UU：T1 看着有点眼熟 -> 原题+2
SoyTony：T3 好像也是原 -> 原题+3

三原牛奶了属于是。

本来没睡好加上打模拟赛的精神暴击，再加上 WC 的回来了与前几天形成鲜明对比，可能还有那个 \(300\) 行数据结构的锅，总之昨天一整天飘飘欲仙，恍若隔世。

但是题目好像除了 T1 都满可改的，T1 似乎没准也能改。

T1 hiahiahia 距离上次做这个题已经是 172.375 天之前，今天磨了一天终于把这个题做出来啦。

实际上还是因为对于 dp 套 dp 的理解不够深吧……

这个好像是另外一种好处：

就是通过状压把一些状态组合起来作为一个状态，从而避免重复贡献。

就是，啥呢，很厉害啊。

本身把原本的判断 dp 改为计数 dp 的问题就是消除的方案数也会被算进去。

实际上我们关注的是从这一个状态能否转移到另外一个状态，而不是转移次数。

这个只是对状态的转移有影响，而对于实际的值并没有影响。

所以可以把这一部分的转移单独拿出来，状压组合到一起形成一个内层 dp。

这样内外就互不干扰了，同时我们也处理出了转移方向。

还是要多做一些类似的题啊。

T2 大数据结构维护，有一些性质很有意思：一个点到树内最远距离的节点一定是直径的某一个端点，并且直径的中点一定在这条路径上。

T3 还剩半个小时的时候想到了前半部分，但是没想到通过断边来钦定某一个点必须选，也没想到退流优化复杂度。

1/31

今天是 1 月份的最后一天。

今天文化课生期末考试的第一天，明天是第二天，后天他们就回家啦。

我们再打两场模拟赛也就回家了。真是抽象。

不知道说啥，推知识点好像还挺顺利的，希望模拟赛也能够顺利。

今天不知道为什么，回顾了《小喇叭》，居然从上世纪五十年代播到现在，真是不容易。

然后复习了一堆喜羊羊的曲子，感觉粤语版的词比国语版好听。

既然都这么说了那就推一首吧

 星光下的梦想

看看星光看月亮

看看我的心

月亮代表我的心

梦想是甜蜜蜜

追寻的路永不完

纵然多遥远

我不会迷失方向

我拥有星光

在光辉中看见

未来的出现

终有一年 终有一天

终于回你身边

求求星光求月亮

听听我心愿

但愿爱充满世间，幸福永不变

但愿梦想会实现，坚持永不变

啦啦啦啦啦啦啦啦

在光辉中看见

未来的出现

终有一年，终有一天

终于回你身边

求求星光求月亮

听听我心愿

但愿爱充满世间，幸福永不变

但愿梦想会实现，坚持永不变

这是国语版的，这一首粤语版的词反而一般。

主要是旋律很美啊，有一种忧伤的感觉。

2/3

？？？

啥意思？原本不知道为啥在一号楼，结果因为打扰初三和屋顶漏水搬到二号楼来了一波 6+6。

现在他们放假了，为了统一管理又要搬到九号楼来一波 6+5？

那为啥一开始不去九号楼呢？

哦因为一开始高四住在那。

等等那不是没铺没床下柜没立柜？

等等那不是高四开学之后还要搬回来来一波 6+5？

等等那不是省选之后还有概率要全都搬回本部来一波 6+N？

半个月这么大运动量？

2/4

昨晚的运动量确实是有点大的，今天起床浑身酸软。但也像是睡觉睡的。（

食堂的排队情况观察报告

考察了一下食堂，第一拨人到达大概是 7:25，并且仅需半分钟就能够把食堂堵到一个不可排队的状态。

接下来的 5~7 分钟内会一直源源不断有人来，几乎也吃不上饭。

7 分钟之后稍微有一个 1 分钟的空档期，但是前面排队的人基本上消耗不了。

截至观察结束，大概 10 分钟左右仍然有很大一部分人过来，算一下时间大概就是我们平时过去的时间。

大概提前走不是什么好主意，因为是各个部门有意错峰的结果。虽然后面的人还是要排长队

想要提前走的话，只有赶在第一拨到达之前才有早吃饭的可能，那样至少要 7:20 往外走，未免有点“破坏秩序，不合统一安排”。

似乎之后就没有什么人来了，因此不想排队的话似乎可以晚一点过去。但是没有必要啊，我们想要的是早吃饭而非不排队，但是前面的很难实现了。

结论：所以还是排队吧。

虚树

做一个总结。

总要思想是把一些关键点和它们之间的 \(lca\) 单独弄成一棵树，这样的话可以在总点数为关键点数的树上面做一些操作或者 dp 什么的。

还有一些其他的应用，比如说要找覆盖树上面的所有关键点的路径的长度并（或者转一圈的长度，就是乘上一个 \(2\)），可以动态维护所有的关键点的 \(dfs\) 序，然后将相邻两个的距离相加，最后再除以二。

主要难度是树上 dp 一类的难度和记板子。

最后这个世界树的转移还挺好的，想了半天。

2/1 的模拟赛

T1 无意义暴力题。

T2 原本以为也是暴力，结果是 dp，贪心是错误的。理论可以构造数据但是我不会……

T3 妙妙构造题，因为一开始的思路错了导致后面一直没有做出来。

T4 比较好的是小的时候可以暴力，大的时候直接指数级增长也是暴力。

膜拜 xuany AK!

2/3 的模拟赛

T1 暴力 dp，有一个很好的性质是不符合实际情况的转移一定不优，所以就可以暴力转移并且李超树干过去。

比较乐的一点是我赛时本来写的暴力是对的，后来写了乱搞，从乱搞里面粘出了一个暴力结果粘错了……

结果两个一拍就挂，然后我认为这个暴力比乱搞正确性高所以把错误的暴力交上去了……

结果是我的乱搞能比错误的暴力多 \(50\) 分 qwq

T2 一个好构造题，用到了类似于 juice 的一个思路，就是把所有的数二进制拆分，然后询问每一位上是 \(1\) 的子集。

T3 是一个 std \(8\) 点多 \(k\) 的绝世好题。

一张新牌

「curly 后撤步」：\(\mathcal{0}\) 费锦囊牌。

效果：后撤一步，使自己存在感 \(\mathcal{-1}\)，并且在接下来的 \(\mathcal{3}\) 个回合中，如果存在感小于等于 \(\mathcal{3}\)，则认为存在感为 \(\mathcal{0}\)。

2/5

两张新牌

「盖住自己」：\(\mathcal{2}\) 费锦囊牌。

效果：在接下来的 \(\mathcal{2}\) 个回合内停止与外界的一切交互。

「堪堪尼德」：\(\mathcal{5}\) 费锦囊牌。

效果：舍弃自己的若干张手牌，并且指定一名玩家舍弃同样的手牌。每当对方拿不出一张同样的手牌时，受到 \(\mathcal{1}\) 点伤害。

2/6

进行一个数的学。

本来是打算记到这里的，但是想了想长篇大论成体系的东西好像并不适合放在这里，所以单独开了一篇。

2/18

2/15 的模拟赛

T1 自己想的比较麻烦，想到要预处理出一些东西。实际上是直接记忆化搜索，因为关键点数很少所以复杂度是正确的。

T2 难点是处理询问区间与覆盖区间相交的情况，发现是一个一次函数，于是可以使用李超线段树，但是要离线加贪心保证范围的正确性。

T3 字典序的大小比较与 bfs 的性质有很好的契合度，再加上整体询问的 k 很小，所以可以看做是暴力 bfs。主要的操作是寻找一段区间内最靠左的第 k 大值以及下一个相同的值。

2/16 的模拟赛

T1 直接树形 dp 把当前的中转站压入状态即可，也是利用到了之前的类似于“不合法的情况一定不优”的性质。

T2 行列式加杜教筛，摆。

T3 大概是官方题解不好写，人类智慧不好想。基本上就是想出来对于一段怎么快速求然后去维护这个东西。利用了类似于线段树的平衡的性质。

T1 赛时拿到了 accoder 的首 A，T3 赛后拿到了自家的首 A。(^-)

2/17 的模拟赛

T1 大概是把原本的东西转化成内向基环树计数，一个是非环边可以直接算出来方案数不需要那么麻烦，另外一个是对于环边计算重复的实质然后去重。卡常。

T2 原神！快速找出相似段的时候用到了一定覆盖了 ik 的性质，同时使用 SA 快速找出两个点向左向右的最长相同段。找到之后使用类似之前的方法划分成 \(n\log n\) 个部分来快速找到没有合并的点，最后使用并查集维护就行了。

T3 矩阵树定理和其他的一大堆东西，摆。

2/27

对方咕了一声~

话说今天就是省选前最后一天空闲时间了，不能瞎过了感觉。

但是昨天那个题还是挺想写的，相爱相杀了属于是。

但是一想就不好写啊，希望我半个上午能够写完。

但是我是把今天没写完的复习内容放到后两天的模拟赛空隙里比较划算还是把这道题放到那里比较划算？

不管了。

对着列表考虑一下需要捡起来的东西。（突然想起了波波之前说的一句话，现在不是你该想起来那些知识点的时候，省选前才是。）

或者倒序复习会是比较好的方案？

• SA SAM PAM manachar KMP ACAM

• 网络流 费用流 上下界

• 长剖 重剖

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• 莫比乌斯反演 拉格朗日差值 概率期望 原根 二项式反演 斯特林数

• 概率期望

• pufer 序列 卡特兰数 crt

基本上是时间排序，但是也有按照重要性排序。