关于“猜数游戏”的反思 与分析理解

[USACO08JAN]Haybale Guessing G

题面翻译

给一个长度为 \(n\) 的数组 \(q\) 个条件，数组中的数字互不相同，每个条件格式形如 \(l_i,r_i,x_i\) 表示这个数组的区间 \([l_i,r_i]\) 内的最小值为 \(x_i\)，输出最早与前面的条件有矛盾的条件的编号，如果所有条件都不发生矛盾，输出 \(0\)。

输入格式

第一行两个整数，分别是 \(n\) 和 \(q\)。

第二行至第 \(q+1\) 行，每行三个整 \(l_i,r_i,x_i\) 描述一个条件。

输出格式

仅一个整数，表示最早发生矛盾的条件的编号。如果所有条件都没有发生矛盾，输出 \(0\)。

样例 #1

样例输入 #1

20 4
1 10 7
5 19 7
3 12 8
11 15 12

样例输出 #1

3

---

常见二分，二分第一个编号。注意这里当初也走了弯路，不需判断\(mid\)是否为第一个，因为后面右端点还会左移，只要判断是否有矛盾就好了。

然后就是重点——并查集的使用

观察这一段二分内的代码：

bool check(int st)
{
	sort(a+1,a+st+1,cmp);
	for(int i=1;i<=n+1;i++)
		f[i]=i;
	int p=a[1].mi,li,ri,la,ra;
	li=la=a[1].l;
	ri=ra=a[1].r;
	for(int i=2;i<=st;i++)
		if(a[i].mi==p)
		{
			li=min(li,a[i].l);
			la=max(la,a[i].l);
			ri=min(ri,a[i].r);
			ra=max(ra,a[i].r);
			if(ri<la) return 0;
		}
		else
		{
			if(fi(la)>ri) return 0;
			for(int j=fi(li);;j=fi(j+1))
				if(j>ra) break;
				else f[j]=f[j+1];
			p=a[i].mi;
			li=la=a[i].l;
			ri=ra=a[i].r;
		}
	if(fi(la)>ri) return 0;
	else return 1;
}

看起来很不知所谓，甚至像是错误的，其实是一种非常简练高效巧妙的写法。

通过分析可以得知，题目中语句之间的矛盾只有两种：

• 同一段区间所包含的最小值不同
• 同一最小值所处的区间不同

第二种情况很好判断，只要记录\(mi\)值相同时，最大左端点和最小右端点是否有交叉区间就行了。

而对于第一种情况，考虑我们将二分范围内的语句\(mi\)值大小按照从大到小排序，当我们知道前面较大的\(mi\)值覆盖范围时，只要判断目前的最小范围能否被前面覆盖，若能被覆盖，则矛盾。

因为前面所枚举的\(mi\)值都大于当前值，所以不管是哪个只要能覆盖住就行；又因为只需判断是否矛盾而不需判断个数，所以只要判断最可能的那一种情况就得了。

下面说并查集。

这里的并查集\(f[x]\)保存的是\(x\)点向右第一个没有被覆盖的点。

原理参照这里：

有如下问题：

长为\(n\)的序列，开始均无颜色，

有\(m\)个操作，每次将\(l\)到\(r\)的数全染成\(c\)色，

求最终的序列。

我们考虑将染色反着来，则一个数若被染色一次，

则这就是它的最终颜色，不会改变。

所以下次若在遇到这个数则需要跳过，

也就是对已经染色的区间\([l,r]\)，我们令其中的所有数都有一个指针，

以指向右边第一个还没有操作的数。

于是我们令\(father[i]\)表示\(i\)右边（包括\(i\)本身）第一个没有染色的数，

将\(i\)染色后，令\(father[i] = find(i + 1)\),

之后就是正常的并查集操作了。

然后这题是个特例，染色虽然是正着来的，但染的颜色全是一种，

只存在\(0 - >1\)，染一次则以后不变色，所以也可用这种方法做。

这里差不多也就是这样的情况了。

注：下面为对上面并查集使用代码的详解，请仔细思考后阅读。

那么对于这一段：

if(fi(la)>ri) return 0;

其原理何在？为什么要用\(la\)右边第一个未被覆盖的点与\(ri\)比较呢？

\(la\)是所有\(mi\)值等于\(p\)的区间的最大左端点，\(ri\)则是最小右端点。而上面我们已经判断过这些都是连续的区间（第二条判断）

if(ri<la) return 0;

所以，\([la,ri]\)就是目前所有区间的交集，也是\(mi\)值可能存在的最小区间。

所以，假如之前的区间覆盖住了这一交集，那么便矛盾：而假如连交集都没有覆盖住，那么更不可能覆盖住别的区间了。