[高中数学/解析几何] 二次曲线系难入门

本文适合对处理解析几何题已有一定经验的高中同学。不建议未进行系统学习或刚刚学习完新课的同学阅读这篇文章。

圆锥曲线都是二次曲线

我们知道，所有圆锥曲线（无论是否标准）都具有共同特性：最高项是二次，即

\[Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0 \]

我们可以将圆锥曲线与二次函数建立映射关系，令

\[\Gamma(x,y)=Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F \]

该函数接受平面上的一个点作为输入，输出一个实数。这样一来，我们已知点 \((x_0,y_0)\) 只需要看 \(\Gamma(x_0,y_0)\) 是否为 \(0\)，即可判断其是否在圆锥曲线上。

入门：预备知识

两次失败的入门

我是在 B 站看到曲线系的，第一次是在预习解析几何不久，第二次是在解析几何第一遍新课结束之后。说实话，看一遍之后，还是感觉什么都不会。因此，如果读者还没有执行高强度的解析几何刷题训练，理解起来可能有一定难度。

但是这不妨碍我们先理解一个基础概念：退化的圆锥曲线（两条直线）。

退化的圆锥曲线

我们最开始见到它，应该是在双曲线的渐近线。我们知道，对于双曲线

\[Ax^2+Cy^2=1\quad (AC<0) \]

我们只需要把右边的 \(=1\) 改成 \(=0\) 即可。这样得到的 \(Ax^2+Cy^2=0\)，就是两条渐近线共同组成的曲线。

我们不妨推而广之。如果我们有

\[\begin{align} l_1(x,y)&=A_1x+B_1y+C_1=0\\ l_2(x,y)&=A_2x+B_2y+C_2=0 \end{align} \]

那么定义

\[\Gamma(x,y)=l_1(x,y)\cdot l_2(x,y) \]

\(\Gamma(x,y)=0\) 就表示 \(l_1\) 和 \(l_2\) 的并集。这很好理解：相乘等于零，就是任一等于零。

开悟：算自由度

五点确定一个圆锥曲线（任意四点不共线时）

我们从定义出发可以看出，圆锥曲线可由六元实数组 \((A,B,C,D,E,F)\) 确定。

类比于用三元实数组 \((A,B,C)\) 的直线，我们发现两点可以确定一条直线。

从三到二，为什么需要的点的数量少了一个？很简单，因为 \((A,B,C)\) 和 \((nA,nB,nC)\) 确定的直线都是一样的。方程右边等于零，左边可以任意乘除倍数。

你有没有觉得有一点相似？没错，立体几何法向量也只需要两个方向向量即可确定，也是因为法向量的大小可以任取。

我们借助自由度的概念说明：

• 所谓自由度，就是有几个独立变化的变量。比如一条有斜率的直线，它的斜率 \(k\) 和截距 \(b\) 是任取的，互不影响，因此平面上一条直线有 2 个自由度。
• 一般情况下，每个方程削减一个自由度，称为“约束”。例如我们发现，在二维平面上的点本具有 2 个自由度；但若限制点在某定椭圆上，即列出 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) 的方程，我们就可以将点表示为只取决于 \(\theta\) 的参数方程形式：\(P(a\cos\theta,b\sin\theta)\)。这就是参数方程的基本思路，将双自由度通过约束降为单自由度，再寻找一个切入口将单自由度转化为我们熟悉的一元函数。

类比于此，我们发现 \((A,B,C,D,E,F)\) 整体乘以任何非零倍数也不会改变曲线本身，就类似于六位空间中五维超平面的法向量，其也只有 5 个自由度。因此，5 点确定一条圆锥曲线。

四点确定一系列圆锥曲线（不共线时）

类比直线：平面上，过一个定点的直线只需要倾斜角 \(\theta\) 即可确定该直线，故过一定点的直线只有一个自由度。

类似地，五个点才能确定一个圆锥曲线，则不共线的四点可以确定一个系列的圆锥曲线，该系列圆锥曲线的自由度为 1。

那么，我们怎么表示这样的曲线呢？回想一下，解析几何题目中的点大多来自于哪里？是不是经常从交点引出？两条圆锥曲线可以有四个交点，我们不妨研究过这四点的圆锥曲线的通式。

\[\begin{align} \Gamma_1(x,y)=A_1x^2+B_1xy+C_1y^2+D_1x+E_1y+F_1=0\\ \Gamma_2(x,y)=A_2x^2+B_2xy+C_2y^2+D_2x+E_2y+F_2=0 \end{align} \]

可以看出，四个交点 \((x_i,y_i)\) \((i=1,2,3,4)\) 都满足 \(\Gamma_1(x_i,y_i)=\Gamma_2(x_i,y_i)=0\)。

所以，若令

\[\Gamma(x,y)=\Gamma_1(x,y)+\lambda\Gamma_2(x,y)=0, \space \lambda \in \mathbb{R} \]

则这四个交点也应满足 \(\Gamma(x_i,y_i)=\Gamma_1(x_i,y_i)+\lambda\Gamma_2(x_i,y_i)=0+0\lambda=0\)。

同时我们发现，\(\Gamma(x,y)=0\) 也是二次曲线，且当 \(\Gamma_1\)、\(\Gamma_2\) 确定时也只有一个自由度，我们便可认为 \(\Gamma(x,y)=0\) 表示过这四点的一系列曲线。

为了严谨性，我们发现 \(\Gamma\) 虽在 \(\lambda=0\) 时能取到 \(\Gamma_1\)，但取不到 \(\Gamma_2(x,y)\)（需要 \(\lambda\to\infty\)），故其实际代表的是过这四点的除 \(\Gamma_2\) 以外的所有曲线。

什么叫经过 A、A、B、C 四点？

某个点出现两次，是什么意思？两次，就是“两重”。你有没有想到初中一元二次方程不说人话的“两重根”？两重，就是强调，你可以想象是无限趋近最后的结果。

最简单的道理：圆 \(x^2+y^2=1\) 和双直线 \(xy=0\) 交于四个点，读者应当是认可的。当我们把 \(xy=0\) 改成 \((x-0.9)(y-0.9)=0\)，我们会发现这四个点在两两接近。最后到 \((x-1)(y-1)=0\) 时，两两重合，这时可以称 \((x-1)(y-1)=0\) 和 \(x^2+y^2=1\) 交于 \((1,0)\)、\((1,0)\)、\((0,1)\)、\((0,1)\) 四点。

当你把 \(\Gamma_1(x,y)=x^2+y^2-1\) 和 \(\Gamma_2(x,y)=(x-1)(y-1)\) 线性组合，你就会发现，经过两重点的圆锥曲线，在 \((0,1)\) 和 \((1,0)\) 处的切线刚好就是 \(y=1\) 和 \(x=1\)（按照定义，直线的切线是其本身，故还可以是 \((x+y-1)^2=0\) 这个两条重合直线）。

如果我只有两个点呢？

很多读者一看到上面的理论都激动了（我当时也是这么过来的），高中解析几何经常没有四个点，只有一个圆锥曲线和一条直线相交的两点，就突发奇想：

如果圆锥曲线是 \(\Gamma=0\)，直线是 \(l=0\)，那过两个点的圆锥曲线系是不是就是这个？

\[\Gamma+\lambda l=0 \]

然而，我们再回归自由度：圆锥曲线本有五个自由度，固定两个点只能消耗两个自由度，还剩三个自由度。但上式只有 \(\lambda\) 一个变量，只能提供一个自由度。可见，上述式子并不能表示所有过两点的圆锥曲线。

那怎么办呢？我们就加两个自由度呗！两个自由度？这不就是直线嘛！所以引入直线 \(m(x,y)=Ax+By+C=0\)，\(A,B,C\) 任取，我们就可以表示过两点的二次曲线系为：

\[\Gamma+\lambda lm=0 \]

上面的 \(\Gamma+\lambda l=0\)，读者若有兴趣可以尝试说明：得到的是经过两交点且与原二次曲线位似（相似变换+平移变换）的二次曲线系。

实战：简单应用

真正的灵活运用道阻且长，我们只能提供一些在曲线系中算是非常基础的例题，以期给读者一点自信，尤其是认清并不是所有题目都可以使用曲线系。

例题 交叉项

(1) 求证：若 \((A_1x+B_1y+C_1)(A_2x+B_2y+C_2)\) 的展开式 \(xy\) 前的系数为 \(0\)，则 \(B_1=B_2=0\) 或 \(-\frac{A_1}{B_1}-\frac{A_2}{B_2}=0\)。并思考其直观意义。

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证明：展开得 $$ A_1B_2+A_2B_1=0 $$

①若 \(B_1=0\)，则 \(A_1\ne 0\)（否则 \(l_1\) 不是直线），可知 \(B_2=0\)

②若 \(B_1\ne0\)，则 \(B_2\ne0\)（否则若 \(B_2=0\)，则 \(A_2\ne0\)，左侧不可能等于 \(0\)），两边同除以 \(B_1B_2\) 得：

\[\frac{A_1}{B_1}+\frac{A_2}{B_2}=0 \]

添负号，这等价于：

\[-\frac{A_1}{B_1}-\frac{A_2}{B_2}=0 \]

命题得证。

直观意义：斜率 \(k_1=-\frac{A_1}{B_1}\)，\(k_2=-\frac{A_2}{B_2}\)，所以若两条直线组成的二次曲线没有交叉项，那么要么斜率均不存在，要么斜率互为相反数

(2) 已知椭圆 \(\Gamma:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)，过点 \(P(1,\frac{3}{2})\) 作两条斜率互为相反数的直线，分别交椭圆于不同于 \(P\) 的 \(A\)、\(B\) 两点。求证：直线 \(AB\) 的斜率为定值。

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证明：设过点 $P$ 的两条直线斜率分别为 $k$ 和 $-k$，则这两条直线组成的二次曲线是

\[l_1l_2=\left(k(x-1)-y+\frac{3}{2}\right)\left(-k(x-1)-y+\frac{3}{2}\right)=0 \]

即

\[l_1l_2=\left(\frac{3}{2}-y\right)^2-k^2(x-1)^2=0 \]

由曲线系知识，椭圆和双直线交于 ABPP 四点，则直线 AB 和直线 PP（椭圆在点 P 处的切线）组合成的二次曲线也过这四点。

故对任意 \(k\in\mathbb{R}\)，都存在一个 \(\lambda\in\mathbb{R}\)，使得

\[\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}-1+\lambda l_1l_2=\mu l_{AB}l_{PP} \]

\(\mu\) 的作用：因为两个圆锥曲线相同的充要条件是系数比相等而非系数相等，所以允许一个比例系数存在，但比例系数一定不是 \(0\)。

可求出 \(l_{PP}: \frac{x}{4}+\frac{\frac{3}{2}y}{3}=1 \Leftrightarrow x+2y-4=0\)

设 \(l_{AB}: y=mx+n\)，代入上式

\[\begin{align} \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}-1+\lambda \left(\left(\frac{3}{2}-y\right)^2-k^2(x-1)^2\right)\\=\mu(mx-y+n)(x+2y-4) \end{align} \]

对比 \(xy\) 项（交叉项）的系数：

• 方程左侧无 \(xy\) 项，系数为 \(0\)
• 方程右侧 \(xy\) 项为 \(\mu(2m-1)\)

故

\[\mu(2m-1)=0 \space (\mu\ne0) \]

\[\boxed{m=\frac{1}{2}} \]

即直线 \(AB\) 的斜率为 \(\frac{1}{2}\)

(3) 已知抛物线 \(C:y^2=4x\)，过焦点 \(F\) 的直线 \(l\) 交抛物线于 \(A\)、\(B\) 两点。作线段 AB 的垂直平分线，交抛物线于 \(P\)、\(Q\) 两点。已知 ABPQ 四点共圆，求 \(l\) 的方程。

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证明：可以得知 $l$、$l'$ 的斜率均存在且不为 $0$。

设 \(l: y=k_1x+m_1\)，线段 AB 中垂线 \(l':y=k_2x+m_2\)

则

\[ll'=(k_1x-y+m_1)(k_2x-y+m_2) \]

\(ll'\) 与抛物线 \(C\) 交于 ABPQ 四点，确定过这四点的一系列二次曲线。

由于 ABPQ 四点共圆，故这一系列二次曲线中有一个是圆。

即：存在 \(\lambda\in\mathbb{R}\)，使得

\[ll'+\lambda C=\mu\left((x-x_0)^2+(y-y_0)^2-R^2\right) \]

代入 \(ll'\) 和 \(C=y^2-4x=0\) 得：

\[\begin{align} (k_1x-y+m_1)(k_2x-y+m_2)+\lambda (y^2-4x)\\=\mu\left((x-x_0)^2+(y-y_0)^2-R^2\right) \end{align} \]

对比左右交叉项 \(xy\) 系数得：

\[-k_1-k_2=0 \]

又 \(l'\perp l\)，故 \(k_1k_2=-1\)，解得：

\[\boxed{k_1=\pm 1} \]

又 \(l\) 经过 \(F(1,0)\)，故 \(l:y=x-1\) 或 \(l:y=-x+1\)

总结：曲线性质

1. 圆：无交叉项，\(x^2\) 与 \(y^2\) 的系数相等。
2. 两条平行直线、抛物线：\(B^2-4AC=0\)。（二次项为完全平方形式）
3. 两条斜率互为相反数（或均不存在）的直线：无交叉项。
4. 两条斜率之积为 \(\lambda\) 的直线：\(x^2\) 与 \(y^2\) 的系数之比为 \(\lambda\)。特别地，两条垂直直线 \(x^2\) 与 \(y^2\) 的系数相反。这可用于证明 Fregier 定理，读者可自行搜索。

后记

注意，使用二次曲线系的方法在高中最多给 2 分答案分，建议仅用于快速确定答案。原因在于，你没有办法在短时间内说明“不在同一直线上的四点确定一系列二次曲线”，且通过 \(\lambda\) 一个变量能覆盖所有过这四点的二次曲线。

本文例题仅聚焦交叉项的应用，实际处理中，还可能聚焦 \(x^2\) 和 \(y^2\) 项等等，但因常常还涉及一次坐标的平移，更加繁琐，本文就不再提及了。若读者想进一步了解二次曲线系的相关知识，可上网搜索相关资料。

当然，最高效的方式是去尝试——看看到底哪些题可以用曲线系完成，然后去讲解——把不会的人讲明白。这样，你才真正入门了二次曲线系。