[数学/函数周期性] 经典反例：周期函数的运算一定是周期函数吗？

本文适合对函数周期性有一定了解的中学生阅读。

引入：压轴题条件给多了？

有一道函数压轴题：

已知 \(y=f(x)\) 为单调非增函数，\(y=g(x)\) 是周期函数，\(|g(x)|<A\) 对 \(x\in\mathbb{R}\) 恒成立，且 \(h(x)=f(x)g(x)\) 也是周期函数，求证：\(y=f(x)\) 为常值函数。

本题理应用函数的有界性解题，但也有人发现自己“不用有界性也证出来了”。各位读者，看看证明过程错在哪里？

证明：因为 \(h(x)\) 与 \(g(x)\) 都是周期函数，故 \(f(x)=\frac{h(x)}{g(x)}\) 也是周期函数，设其周期为 \(T\)。单调不增的周期函数是常值函数。

点击查看错误原因

已知 $h(x)$ 与 $g(x)$ 都是周期函数，$f(x)=\frac{h(x)}{g(x)}$ 不一定是周期函数。

多是由于初中以来任意整数均有“最小公倍数”的刻板印象所致，但实数域不是有理数域。

为什么呢？我们提供给读者几个反例。核心洞察在于，两个实数不一定有公倍数。

反例

反例 1：周期函数相加不一定是周期函数

\(f(x)=\cos x\)，\(g(x)=\cos \pi x\)，\(h(x)=f(x)+g(x)\) 不是周期函数。

读者自证不难 点击查看证明：

假设 $T$ 是 $y=h(x)$ 的一个周期，周期性定义要求 $T\ne 0$。

故 \(f(T)=f(0)=\cos 0+\cos 0=2\)。

又 \(\cos x\le 1\) 且 \(\cos \pi x\le 1\) 得 \(\cos x+\cos \pi x\le 2\)，当且仅当 \(\cos x=\cos \pi x=1\) 时等号成立。等号成立条件即 \(x=2k_1\pi\) 且 \(\pi x=2k_2\pi\)，\(k_1,k_2\in\mathbb{Z}\)。

又 \(\cos T+\cos \pi T=2\)，故 \(T=2k_1\pi\) 且 \(\pi T=2k_2\pi\)，\(T\ne 0\) 可以将两式相除，得 \(\pi=\frac{k_2}{k_1}\in\mathbb{Q}\)，与 \(\pi\notin\mathbb{Q}\) 矛盾！故假设不成立。

反例 2：周期函数相乘不一定是周期函数

\(f(x)=1+\cos x\)，\(g(x)=1+\cos \pi x\)，\(h(x)=f(x)g(x)\) 不是周期函数。

（有了上面的铺垫，这个真的自证不难）

反例 3：周期函数相除不一定是周期函数

以下这个反例甚至可以满足处处可导：

\(f(x)=\cos \pi x\)，\(g(x)=2-\cos x\)，\(h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\) 不是周期函数。

（这个加减号都是凑好的，也是为了自证不难）

反例 4：\(f(f(x))\) 是周期函数，\(f(x)\) 不一定是周期函数

\[f(x)=\begin{equation*} \begin{cases} 0,&x=1\\ 2,&x\ne 1 \end{cases} \end{equation*} \]

洞察：尝试构造时，注意不要出现 \(f(x)=y,f(y)=x\) 的结构。如果尝试中出现了二阶不动点，那么这次尝试大概就失败了。但二阶不动点在一些反例构造里面很有作用，读者可以自行思考。

证明：

• \(x\ne 1\) 时，\(f(x)=0\)，\(f(f(x))f=(0)=0\)；
• \(x=1\) 时，\(f(x)=2\)，\(f(f(x))=f(2)=0\)。
• 故 \(f(f(x))=0, x\in\mathbb{R}\)。
• \(f(f(x))\) 是以任意非零实数为周期的函数，但 \(f(x)\) 不是周期函数。

反例 5：\(f(f(x))\) 是周期函数且不是常值函数，\(f(x)\) 仍然不一定是周期函数

有读者会说，上面那个构造常值就耍无赖了。那如果题目加上一个“\(f(f(x))\) 不是常值函数”，是不是就能保证 \(f(x)\) 的周期性了？

很遗憾。只需

\[f(x)=\begin{equation*} \begin{cases} \sin x,& x\ne\pi\\ -\pi,& x=\pi \end{cases} \end{equation*} \]

证明：

• \(x\ne\pi\) 时，\(f(x)=\sin x<\pi\)，故 \(f(f(x))=f(\sin x)=\sin (\sin x)\)
• \(x=\pi\) 时，\(f(x)=-\pi\ne\pi\)，故 \(f(f(x))=f(-\pi)=\sin (-\pi)=0\)
• 注意到 \(x=\pi\) 时，\(\sin (\sin x)=\sin (\sin\pi)=\sin 0=0=f(f(x))\)。
• 故 \(f(f(x))=\sin (\sin x), x\in\mathbb{R}\) 恒成立。
• 显然 \(f(f(x))\) 是以 \(2\pi\) 为周期的函数；
• 但 \(f(x)\) 只在 \(x=\pi\) 处取到 \(-\pi\)，其他值都大于 \(-\pi\)，故 \(f(x)\) 不是周期函数。

洞察：让函数在一个特殊点取不同的值，但这个值又能“回归”同一个表达式。

反例 6：\(f(g(x))\) 和 \(f(x)\) 都是周期函数，\(g(x)\) 不一定是周期函数

\(f(x)=\sin x\)，\(g(x)=x\)，\(f(g(x))=\sin x\)。

反例 7：\(f(g(x))\) 和 \(g(x)\) 都是周期函数，\(f(x)\) 不一定是周期函数。

\(f(x)=x\)，\(g(x)=0\)，\(f(g(x))=0\)。

我们邀请读者举一个不是常值函数的例子。

反例 正确的命题：若 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 都是周期函数，则 \(f(g(x))\) 和 \(g(f(x))\) 也是周期函数

希望读者不要被绕进去，看到一切周期函数的命题都说是不对的。这俩仔细看看就知道是对的（其实只要内层函数是周期函数就行，内层周期对外层有类似“屏蔽”作用）。

结论

任意两个周期函数相加、相减、相乘、相除都不一定是周期函数，可用 \(\cos x\) 与 \(\cos \pi x\) 的变体等构造。这体现了实数理论中的 不可公度性，读者有兴趣可自行搜索探究。

复合后为周期函数的外层函数也不一定是周期函数，通常让函数在一个特殊点取不同的值，但这个值又能“回归”同一个表达式。

对于“正向推导复合函数的周期性”，“内层函数是周期函数”是复合函数成为周期函数的充分不必要条件。