数论板子

线性筛求素数

int prime[MAXN];//保存素数
bool is_not_prime[MAXN] = {1, 1};//0和1都不是素数

//筛选n以内的所有素数
void xxs(int n)
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!is_not_prime[i])
        {//如果i是素数
            prime[++prime[0]]=i;
        }
        for(int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=n;j++)
        {
            is_not_prime[i*prime[j]]=1;
            //如果i中包含了该质因子，则停止
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}

欧拉函数

求单个

int euler_phi(int n)
{
  // 如果存在大于根号n的质因子，至多有一个
  int m=int(sqrt(n + 0.5));
  int ans=n;
  // 跟判定素数很像
  for(int i=2;i<=m;i++)
  {
    //如果i能整除n，则i是n的因子，也会质因子(看下面的while）
    if(n%i==0)
    {
      ans=ans/i*(i-1);//根据定义计算
      //根据唯一分解定理，去掉i的幂
      while(n%i==0) n/=i;
    }
  }
  // 如果最后n>1，则为一个大于根号n的一个质因子
  if (n>1) ans=ans/n*(n-1);
  return ans;
}

求多个

// 整体框架为线性筛素数的代码，中间根据欧拉函数的性质加了几条语句而已
int n,phi[N],prime[N],tot;
bool not_prime[N];//true表示不是素数，false表示是素数
void getPhi()
{
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        if(!not_prime[i])
        {
            prime[++tot]=i;
            phi[i]=i-1;//根据性质2
        }
        for(int j=1;j<=tot;++j)
        {
            int k=i*prime[j];
            if(k>n) break;
            not_prime[k]=true;
            if (i % prime[j]==0)
            {//变形1
                phi[k]=prime[j]*phi[i];
                break;
            }
            else
            {//变形2
                phi[k]=(prime[j]-1)*phi[i];
            }
        }
    }
}

gcd求最大公约数

// 递归形式
int gcd(int x,int y)
{
    return (y==0?x:gcd(y, x%y));
}

// 非递归形式
int gcd(int x,int y)
{
    int r=x % y;//取余数
    while(r)
    {//余数不为0，交换变量，继续做除法
        x=y;
        y=r;
        r=x%y;
    }
    return y;//余数为0时，除数为gcd
}

乘法逆元

费马小定理求逆元

ll quickpow(ll a,ll n,ll p)
{//快速幂求 a^n%p
    ll ans=1;
    while(n)
    {
        if(n&1) ans=ans*a%p;
        a=a*a%p;
        n>>=1;
    }
    return ans;
}

ll niyuan(ll a,ll p)
{//费马小定理求逆元 a^(p-2)%p
    return quickpow(a,p-2,p);
}

线性求1-n逆元

// 因为 1<i<p，所以 p/i 一定小于 p
ny[1]=1;
for(int i=2;i<p;++i)
{
    ny[i]=(long long)(p-p/i)*ny[p%i]%p; // 注意最后的模 p 不要忘记
}

中国剩余定理

物不知数问题

ll crt(int k,ll a[],ll r[])//需要模数互质
{
  ll n=1,ans=0;
  for(int i=1;i<=k;i++) n=n*r[i];
  for(int i=1;i<=k;i++)
  {
    ll m=n/r[i],b,y;
    exgcd(m,r[i],b,y);//b*m mod r[i]=1
    ans=(ans+a[i]*m*b%n)%n;
  }
  return (ans%n+n)%n;
}

扩展中国剩余定理

例题

//扩展中国剩余定理 
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long

const int maxn=1e5+5;
int n;
ll h[maxn],l[maxn];

ll fmul(ll a,ll b,ll mod)
{
	ll res=0;
	while(b)
	{
		if(b&1) res=(res+a)%mod;
		a=(a+a)%mod;
		b>>=1;
	}
	return res;
}

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	ll res=exgcd(b,a%b,x,y);
	ll t=x;
	x=y;
	y=t-a/b*y;
	return res;
}

ll excrt()
{
	ll ans=0,mul=1,x,y;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		ll a=mul,b=l[i],c=(h[i]-ans%b+b)%b;
		ll g=exgcd(a,b,x,y),bg=b/g;
		if(c%g!=0) return -1;
		x=fmul(x,c/g,bg);
		ans=ans+x*mul;
		mul=mul*bg;
		ans=(ans%mul+mul)%mul;
	}
	return ans;
}

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld%lld",&l[i],&h[i]);
	printf("%lld\n",excrt());
	
	return 0;
}

卢卡斯定理

求大组合数取模

// 需要先预处理出fact[]，即阶乘
ll C(ll n,ll m,ll p)
{
    return n<m?0:fact[n]*inv(fact[m],p)%p*inv(fact[n-m],p)%p;
}

ll Lucas(ll n,ll m,ll p)
{
  if(m==0) return 1;
  return (C(n%p,m%p,p)*Lucas(n/p,m/p,p))%p;
}

详解网址
数论基础