leetcode-152乘积最大子数组（两个转移方程的正确性证明）

1、dp数组的含义

maxDP[i]中存储 以nums[i]为结尾元素的子数组的最大乘积
minDP[i]中存储 以nums[i]为结尾元素的子数组的最小乘积

注意到：maxDP[i] >= minDP[i] for all i from 0 to nums.size()-1

 

2、根据maxDP[i]和minDP[i]的正负，分类讨论

情况1:
如果nums[i] == 0
    maxDP[i] 等于 0, 注意：任何数字与0的乘积都是0
    minDP[i] 等于 0, 注意：任何数字与0的乘积都是0 

情况2:
如果nums[i] > 0
    maxDP[i] 等于 max{     nums[i],                         if maxDP[i-1] <= 0
                        nums[i]*maxDP[i-1](反证法),         if maxDP[i-1] > 0
                    }
                    注意：maxDP[i-1]的值，已经覆盖了所有情况，不必再考虑minDP[i-1]

    minDP[i] 等于 min{    nums[i],                        if minDP[i-1] > 0（不能往左乘，越乘越大）
                        nums[i]*minDP[i-1]（反证法）,     if minDP[i-1] <= 0
                    }
                    注意：minDP[i-1]的值，已经覆盖了所有情况，不必再考虑maxDP[i-1]
情况3:
如果nums[i] < 0
    maxDP[i] 等于 max{    nums[i]*minDP[i-1]（反证法）,     if minDP[i-1] < 0
                        nums[i],                         if minDP[i-1] => 0
                    }
                    注意：minDP[i-1]的值，已经覆盖了所有情况，不必再考虑maxDP[i-1]

    minDP[i] 等于 min{    nums[i]*maxDP[i-1](反证法),        if maxDP[i-1] > 0
                        nums[i],                        if maxDp[i-1] <= 0
                    }
                    注意：maxDP[i-1]的值，已经覆盖了所有情况，不必再考虑minDP[i-1]

综上，不论是maxDP[i]还是minDP[i]，都是在maxDP[i-1]*nums[i]，minDP[i-1]*nums[i]，nums[i]这三个数中产生的

maxDP[i]是三个数中最大者，minDP[i]是三个数中最小者

    maxDP[i] = max(maxDP[i-1]*nums[i], max(minDP[i-1]*nums[i], nums[i]))
    minDP[i] = min(minDP[i-1]*nums[i], min(maxDP[i-1]*nums[i], nums[i]))

3、实现

class Solution {
public:
    int maxProduct(vector<int>& nums) {
        vector<int> minDP(nums), maxDP(nums);
        int ans = nums[0];
        for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
            maxDP[i] = max(maxDP[i-1]*nums[i], max(minDP[i-1]*nums[i], nums[i]));
            minDP[i] = min(minDP[i-1]*nums[i], min(maxDP[i-1]*nums[i], nums[i]));
            if (maxDP[i] > ans)
                ans = maxDP[i];
        }
        return ans;
    }
};