傅里叶级数

目的

构造任意周期函数的通用近似表达式\(f(x)\)

没有对错，只有近似

已知

1. 常函数是周期函数，因此只要\(f(x)\)中包含常数项\(C\)，\(f(x)\)即可包含常函数

2. 任意函数都可以分解为奇函数与偶函数之和

   \[f\left( x\right) =\dfrac{f\left( x\right) +f\left( -x\right) }{2}+\dfrac{f\left( x\right) -f\left( -x\right) }{2}=f_{even}+f_{odd} \]

3. 假设目标函数周期为\(T\)，那么只要分部都是周期为\(T\)的形式，近似和形式\(f(x)\)的周期必为\(T\)

• 猜测了一种近似表达式：

  \[f\left( x\right) =C+\sum ^{\infty }_{n=1}\left( a_{n}\cos ( \dfrac{2\pi n}{T}x) +b_{n}\sin ( \dfrac{2\pi n}{T}x)\right) ,C\in R \]

  近似表达式没有对错之分

通用表达式的系数求解

注意：此处项为函数向量
说明：傅里叶级数中任意两个基互相正交，可用积化和差证明
系数：

\[ a_{n}=\dfrac{2}{T}\int _{x_{0}}^{x_{0}+T}f\left( x\right) \cdot \cos ( \dfrac{2\pi nx}{T})dx,n\in \left\{ 0\right\} \cup N\\ b_{n}=\dfrac{2}{T}\int _{x_{0}}^{x_{0}+T}f\left( x\right) \cdot \sin ( \dfrac{2\pi nx}{T})dx,n\in N\\ \]

表达式中的频域说明

对于第n项，设其周期为 \(T_n\) :

\[\begin{cases} T_n=\frac{2\pi}{\omega_n}\\ \omega_n=\frac{2\pi n}{T} \end{cases} \Rightarrow T_n=\frac{T}{n} \]

当增加周期 T 时，各子项频率减小

$$ f=1+\frac{4}{\pi}\sin(\frac{2\pi}{T}x)+\frac{4}{3\pi}\sin(\frac{6\pi}{T}x)+\frac{4}{5\pi}\sin(\frac{10\pi}{T}x)+\frac{4}{7\pi}\sin(\frac{14\pi}{T}x) $$

复数形式的傅里叶级数

复变三角函数

\[e^{iwt}=\cos(wt)+i\sin(wt)\\ \Rightarrow \begin{cases} \cos(nwt)=\frac{e^{inwt}+e^{-inwt}}{2}\\ \sin(nwt)=\frac{e^{inwt}-e^{-inwt}}{2i} \end{cases} \]

则傅里叶级数可改写为：

\[\begin{aligned} f\left( t\right) &=C+\sum ^{\infty }_{n=1}\left[ a_{n}\frac{e^{inwt}+e^{-inwt}}{2} +b_{n}\frac{e^{inwt}-e^{-inwt}}{2i}\right] \\ &=C+\sum ^{\infty }_{n=1}\left[ \frac{a_{n}-ib_{n}}{2}e^{inwt} +\frac{a_{n}+ib_{n}}{2}e^{-inwt}\right] \end{aligned}\tag{2} \]

由系数表达式有：

\[\begin{cases} \cos(x)=\cos(-x)\\ \sin(x)=-\sin(-x) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a_n=a_{-n}\\ b_n=-b_{-n} \end{cases} \]

将系数等式带入式 (2)：

\[\begin{aligned} f(t)&=C+\sum ^{\infty }_{n=1}\left[ \frac{a_{n}-ib_{n}}{2}e^{inwt}\right] +\sum ^{\infty }_{n=1}\left[\frac{a_{-n}-ib_{-n}}{2}e^{-inwt}\right]\\ &=C+\sum ^{\infty }_{n=1}\left[ \frac{a_{n}-ib_{n}}{2}e^{inwt}\right] +\sum ^{-1 }_{n=-\infty}\left[\frac{a_{n}-ib_{n}}{2}e^{inwt}\right]\\ &=\underbrace{C}_{包含n=0}+\sum ^{\infty }_{n=-\infty}\left[ \frac{a_{n}-ib_{n}}{2}e^{inwt}\right]\\ &=\underbrace{C}_{包含n=0}+\sum ^{\infty }_{n=-\infty}A_ne^{inwt} \end{aligned} \]

对等式两边同时乘以 \(e^{imwt}\) ，并对它们在一个周期内进行积分

\[\begin{aligned} \int^{T}f(t)e^{-imwt}dt&=\underbrace{\int^{T}Ce^{imwt}dt}_{由(复变)三角函数，当m\neq0时，为0}+\underbrace{\sum ^{\infty }_{n=-\infty}\int^{T}A_ne^{i(n-m)wt}dt}_{保留了n=m的项}\\ &=A_nT=A_mT \end{aligned} \]

即：

\[A_m=\frac{1}{T}\int^{T}f(t)e^{-imwt}dt \]

傅里叶变换

1. 所说的从时域到频域，是指从横坐标为时间到，横坐标为频率，纵坐标依然为幅值

参考文献

1. 信号的傅里叶变换后的虚数怎样理解？