生成函数代替伯努利数

在CHEFSSM中，出题人用了一个多项式求逆做法。
这本质上是所谓"伯努利数"。
伯努利数是\(\frac{x}{e^x-1}\)
\([x^n]e^{ix}=\frac{i^n}{n!}\)
这个东西的前缀和是\(\sum_{i=0}^mi^n=n![x^n]\sum_{i=0}^{m}e^{ix}=\frac{e^{m+1}-1}{e^{x}-1}=n![x^n]\frac{1}{e^x-1}(e^{m+1}-1)\)
将上下同除以\(x\)即可。
先求出\(F(x)=\frac{x}{e^x-1}\)，用多项式求逆。
答案就是\(F(x)\frac{e^{nx}-1}{x}\)
展开可以得到\(\sum_{i=0}^{n-1}i^k=\frac{1}{k+1}\sum_{i=0}^kC_{k+1}^iF(x)[x^i]n^{k+1-i}\)