arcane

一个显然的\(O(n^2)\)算法：考虑从左向右扫描，维护一个栈。
当栈顶的字符和新的字符可以合并时，则把栈顶的字符和新字符合并后把新字符插入栈。
正确性显然。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 200010
int t[30][30],a[N],n,st[N],tp,m,ok[30][30],ans;
char s[N];
int main(){
	freopen("arcane.in","r",stdin);
	freopen("arcane.out","w",stdout);
	scanf("%s",s+1);
	n=strlen(s+1);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		a[i]=s[i]-'a';
	scanf("%d",&m);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		char a[3],b[3],c[3];
		scanf("%s%s%s",a,b,c);
		if(c[0]!='*'){
			t[a[0]-'a'][b[0]-'a']=c[0]-'a';
			ok[a[0]-'a'][b[0]-'a']=1;
		}
		else{
			t[a[0]-'a'][b[0]-'a']=-1;
			ok[a[0]-'a'][b[0]-'a']=1;
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=i;j<=n;j++){
			st[++tp]=a[j];
			while(tp>1&&ok[st[tp-1]][st[tp]]){
				int v1=st[tp-1],v2=st[tp];
				tp-=2;
				if(t[v1][v2]>=0)
					st[++tp]=t[v1][v2];
			}
			if(!tp)
				ans++;
		}
		tp=0;
	}
	printf("%d",ans);
}

考虑倒着扫描整个字符串，求出以\(i\)为开头的合法字符串个数。
考虑求出以\(i\)开头合法的右端点的集合\(s\)，从小到大排序。
则从\(i\)开始扫，如果扫到\(s_j\)，则由栈扫描的过程可知\(st_{s_j+1...s_{j+1}}\)合法。
而且如果\(st_{i...j},st_{j+1...k}\)合法，显然\(st_{i...k}\)合法。
设\(f_i,g_i\)表示\(i\)右边第一个位置让\(s_{i...f_i-1}\)合法，\(g_i\)表示以\(i\)开头的合法子串个数。
显然\(g_i=g_{f_i}+1\)
这十分类似括号树。
问题转化成求出\(f\)。
如果我们从\(i+1\)推到\(i\)，栈中会插入一个新字符再插入\(st_{i+1...n}\)。
这需要我们求出\(i+1\)开始消除成字符\(p\)，其中\(p\)和\(st_i\)能够消除到空且字符串最短。
则问题转化成：对于所有字符\(p\)，最小右端点\(j\)，使得\(s_{i...j}\)能够消除成\(p\)。
令\(h_{i,p}\)表示最小的右端点\(+1\)，使得\(s_{i...h_{i,p}-1}\)能够消除成\(p\)。
则考虑枚举字符\(t\)，，找到一个\(e\)，使得\(t\)和\(e\)能够消除成\(p\)，且\(h_{h_{i,t},e}\)最小，\(h_{i,p}=\min(h_{h_{i,t},e})\)。
这是因为字符\(t\)会先跟后缀能够消除成一个字符\(c\)，且\(c\)能够和\(t\)消除的的长度最小的后缀消除。
而且还有以下递推式：\(h_{i,p}=\min(h_{f_i,p})\)
初值\(h_{i,s_i}=i+1\)，其他\(n+2\)。
由于保证\(c\)比\(a,b\)在字典序下更加靠后，所以可以从\(c\)字典序小到大递推转移。
时间复杂度\(O(n|S|)\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 200010
#define int long long
char s[N],t[10];
int le,n,g[N],f[N],h[N][26];
struct no{
	char b,c;
};
vector<no>v[N];
signed main(){
	freopen("arcane.in","r",stdin);
	freopen("arcane.out","w",stdout);
	scanf("%s",s+1);
	le=strlen(s+1);
	scanf("%lld",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int a,b,c;
		scanf("%s",t);
		a=t[0];
		scanf("%s",t);
		b=t[0];
		scanf("%s",t);
		c=t[0];
		v[a-'a'].push_back((no){b-'a',c});
	}
	for(int j=0;j<26;j++)
		h[le+1][j]=h[le+2][j]=le+2;
	f[le+1]=f[le+2]=le+2;
	for(int i=le;i;i--){
		f[i]=le+2;
		for(int j=0;j<26;j++)
			h[i][j]=le+2;
		h[i][s[i]-'a']=i+1;
		for(int j=0;j<26;j++){
			int va=le+2,r=-1;
			for(int k=0;k<v[j].size();k++){
				no x=v[j][k];
				int a=j,b=x.b,c=x.c;
				if(va>h[h[i][a]][b]){
					va=h[h[i][a]][b];
					r=c;
				}
			}
			if(r!=-1){
				if(r!='*')
					h[i][r-'a']=min(h[i][r-'a'],va);
				else
					f[i]=min(f[i],va);
			}
		}
		for(int j=0;j<26;j++)
			if(f[i]!=le+2)
				h[i][j]=min(h[i][j],h[f[i]][j]);
	}
	for(int i=le-1;i;i--)
		if(f[i]!=le+2){
			g[i]=g[f[i]]+1;
			//printf("%d %d\n",i,f[i]);
		}
	int ans=0;
	for(int i=le-1;i;i--)
		ans+=g[i];
	printf("%lld\n",ans);
}