11.28模拟赛D题解

一个奇妙的不等式操作：
\(a_x+a_y\geq (a_x xor a_y)=f_x-f_y\)
所以只有\(a_x+a_y\geq f_x-f_y\)的点才能贡献答案。
这个东西的意义是\(a_x\geq 在\)x\(子树且不包含\)x\(,\)y\(子树的点\)。
考场上猜了符合这个条件的点对只有\(n\log_2\max a_i\)，结果真的猜对了。
要证明这个需要证明两个引理：
1.合法的候选\(y\)集可能在多个子树中，但是一定在一个子树的链中。
假设有两个点\(x,y\)不在一条直上/下的链上，则设他们的lca是\(lc\)。
显然\(a_x\geq a_y+a_{lc}\)且\(a_y\geq a_x+a_{lc}\)
\(a_{lc}\)一定大于\(0\)所以矛盾。
2.一个子树候选点最多只有\(\log_2{\max a_i}\)个。
构造一数列\(b_x\)表示\(x\)（\(x\)必须是候选集内节点）到父亲的链的\(a\)的和。
显然\(a_x\geq b_{ff_x} ,b_{x}=b_{ff_x}+a_x\)，\(ff_x\)表示它的祖先中，深度最大的候选点。
显然\(b_x\)每次至少会比\(b_{ff_x}\)翻倍，证完。
所以符合这个条件的点对在最坏情况下只有\(\sum deg_i*\log_2{\max a_i}=n\log_2{\max a_i}\)。
所以可以轻松的计算答案。
算法1：显然使用dfs序+线段树即可轻松的维护一个点往外的权值，然后在线段树上dfs统计答案，当区间最小值\(>0\)的时候break，但是没调出来。
算法2：注意到一个点在dfs的计算过程中（逆dfs遍历所有点），成为候选集的位置，肯定是一段连续的区间。
在考虑到它的点（祖先）肯定越高越不可能满足要求。
所以可以把当前点的候选集合并到祖先然后暴力计算。
实际上，在考场上我想到了算法2，但是以为时间复杂度是错的没写。