关于CF1427H的一些思路

超级大天坑。。。。。

等写完时估计已经AFO了。

不管怎么样，先把目前的结论写下来吧。

CF1427H: Prison Break

一些记号约定：

设 $P,Q$ 是监狱右侧凸多边形上的点，则 $\widehat{PQ}$ 表示折线 $PQ$ 的长度。

设 $X,Y$ 是监狱内部的点，则 $XY$ 表示线段 $XY$ 的长度。

$P_0,P_1,...,P_n$ 是监狱右侧凸多边形上的 $n$ 个顶点。

犯人位于 $A$ 点，两个警卫分别位于 $B_1,B_2$ 两点（只有一个警卫的讨论中，警卫在 $B$ 点），速度为 $v$ 。

只有一个警卫时的结论与证明

结论：警卫速度 $v \geq \frac{ \widehat{P_0P_n} }{ P_0P_n }$ 是犯人不能逃出监狱的充分且必要条件。

必要性证明很简单：若警卫速度小于上述值，犯人可以先走到无限接近 $P_0$ 的点，然后沿直线走向 $P_n$ ，逃出监狱，显然警卫无法及时赶到 $P_n$ 。

关于充分性的证明，可以考虑过 $A$ 点作 $P_0P_n$ 的平行线，设其交凸多边形边界与 $C,D$ 。

不论犯人如何移动，警卫都会以使得 $\frac{CA}{CD}=\frac{ \widehat{CB} }{ \widehat{CD} }$ 成立的方向和速度移动，且警卫需要的速度一定不超过速度上限。

这样的话犯人就一定无法成功越狱（到达监狱边界点是一定会与警卫相遇）。对于速度证明如下：

假设犯人试图移动到 $A'$ 点，过 $A'$ 点再做一条平行线，交凸多边形边界与 $C',D'$ （如图）。