CF1266H

题意：给定 $n$ 个点的有向图，每一个点刚好有两条出边，有一个人在图上行走。对于任意点，第奇数次离开该点都走第一条出边，第偶数次离开该点都走第二条出边。 $q$ 次询问，每次询问给定这个人到达的点以及每一个点离开次数的奇偶性，求这个人走过的边数， $n \leq 58,q \leq 5000$ 。

$n \leq 58$ 不是什么奇淫技巧，只是保证答案不会太大。

设 $R_i$ 为点 $i$ 第一条出边连向的点， $B_i$ 为第二条出边连向的点。

根据进入每一个点的次数等于离开该点的次数可以列出类似以下的方程组（对于 $1$ 号点和最后到达的点，两者差值是定值）

$$out_i= \sum_{R_j=i} \lceil \frac{out_j}{2} \rceil + \sum_{B_j=i} \lfloor \frac{out_j}{2} \rfloor$$

（一共有 $n$ 个这样的方程，其中 $out_i$ 是离开点 $i$ 的次数）

对于每一个点，输入给定了离开该点次数的奇偶性，于是上取整和下取整容易处理，可以高斯消元求所有 $out_i$ 。

所有 $out_i$ 加起来就是答案， $O(qn^3)$ 。

其实可以只做一次高斯消元，根据奇偶性得出的变化量是常数，把它们看作参数就可以 $O(n^3+qn^2)$ 了。怎么样，是不是很简单？

直接这么做样例都过不去，不然怎么会有3400的难度？

如果有解的话，上面的算法是对的（因为 $out_i$ 唯一）。

但这样可能把无解判为有解，所以这题难点在于怎么判无解。

判断有解两个条件如下：

1.方程的解全部是非负整数。

2.讲不清楚，见CF1266H Red-Blue Graph 题解 - 蒟蒻 · 18Michael 的博客 - 洛谷博客 (luogu.org)。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long int
#define eps 1e-6
inline double _abs(double a){return a>0?a:-a;}

int n,q,R[60],B[60];
int pos; char col[60];

struct matrix{
    int mod,mat[60][120],f[60];
    inline int sum(int a,int b){return a+b<mod?a+b:a+b-mod;}
    inline int dec(int a,int b){return a<b?a-b+mod:a-b;}
    inline int mul(int a,int b){return (int)((ll)a*b%mod);}
    inline int pow(int a,int b)
    {
        int res=1;
        while(b>0){
            if(b&1) res=mul(res,a);
            a=mul(a,a); b>>=1;
        }
        return res;
    }
    inline int inv(int x){return pow(x,mod-2);}
    void gauss(void)
    {
        int half=inv(2);
        for(int i=0;i<n;i++){
            mat[B[i]][i]=sum(mat[B[i]][i],half);
            mat[R[i]][i]=sum(mat[R[i]][i],half);
            mat[i][i]=dec(mat[i][i],1);
        }
        for(int i=0;i<n;i++)
            mat[i][i+n]=1;
        for(int i=0;i<n;i++){
            int maxp=i;
            for(int j=i+1;j<n;j++)
                if(mat[j][i]>0)
                    maxp=j;
            for(int j=0;j<n+n;j++)
                swap(mat[i][j],mat[maxp][j]);
            for(int j=0;j<n;j++)
                if(i!=j){
                    int t=mul(mat[j][i],inv(mat[i][i]));
                    for(int k=0;k<n+n;k++)
                        mat[j][k]=dec(mat[j][k],mul(mat[i][k],t));
                }
        }
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=0;j<n;j++)
                mat[i][j+n]=mul(mat[i][j+n],inv(mat[i][i]));
        return;
    }
    
    void getf(void)
    {
        for(int i=0;i<n;i++)
            f[i]=0;
        int half=inv(2);
        for(int i=0;i<n;i++)
            if(col[i]=='R'){
                f[R[i]]=sum(f[R[i]],half);
                f[B[i]]=dec(f[B[i]],half);
            }
        f[0]=sum(f[0],1);
        f[pos]=dec(f[pos],1);
        return;
    }
    int getout(int id)
    {
        int res=0;
        for(int i=0;i<n;i++)
            res=dec(res,mul(mat[id][i+n],f[i]));
        return res;
    }
}m1,m2;

struct edges{
    int to; ll cnt;
}e1[60],e2[60];
bool incyc[60],vis[60];
int sta[60],top=-1;
inline ll query(int id)
{
    return e1[id].cnt==0?e2[id].cnt:e1[id].cnt;
}
inline void dec(int id,ll x)
{
    if(e1[id].cnt>=x){
        e1[id].cnt-=x;
        return;
    }
    e2[id].cnt-=x-e1[id].cnt;
    e1[id].cnt=0;
    return;
}

bool check(void)
{
    int now=0;
    while(e1[now].cnt+e2[now].cnt>0){
        while(e1[now].cnt+e2[now].cnt>0&&!vis[now]){
            vis[now]=1;
            sta[++top]=now;
            if(e1[now].cnt>0)
                now=e1[now].to;
            else now=e2[now].to;
        }
        if(!vis[now]) break;
        while(sta[top]!=now){
            vis[sta[top]]=0;
            incyc[sta[top--]]=1;
        }
        vis[now]=0;
        incyc[now]=1; top--;
        ll mn=1e18;
        for(int i=0;i<n;i++)
            if(mn>query(i)&&incyc[i])
                mn=query(i);
        for(int i=0;i<n;i++)
            if(incyc[i]){
                dec(i,mn);
                incyc[i]=0;
            }
    }
    while(top>=0)
        dec(sta[top--],1);
    for(int i=0;i<n;i++)
        if(e1[i].cnt+e2[i].cnt!=0)
            return 0;
    return 1;
}

ll out[60];
ll getans(void)
{
    m1.getf(); m2.getf();
    for(int i=0;i<n;i++){
        int p1=m1.getout(i),p2=m2.getout(i);
        ll k1=m1.mul(p1,m1.inv(m2.mod));
        ll k2=m2.mul(p2,m2.inv(m1.mod));
        k1*=m2.mod; k2*=m1.mod;
        out[i]=(k1+k2)%((ll)m1.mod*m2.mod);
        if((out[i]&1)&&col[i]=='B')
            return -1;
        if(!(out[i]&1)&&col[i]=='R')
            return -1;
    }
    for(int i=0;i<n;i++){
        incyc[i]=vis[i]=0;
        if(out[i]&1ll){
            e1[i].cnt=out[i]>>1ll;
            e1[i].to=B[i];
            e2[i].cnt=(out[i]+1)>>1ll;
            e2[i].to=R[i];
        }
        else{
            e1[i].cnt=e2[i].cnt=out[i]>>1ll;
            e1[i].to=R[i];
            e2[i].to=B[i];
        }
    }
    if(!check()) return -1;
    ll ans=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
        ans+=out[i];
    return ans;
}

int main(void)
{
    scanf("%d",&n); n--;
    for(int i=0;i<n;i++){
        scanf("%d%d",&B[i],&R[i]);
        B[i]--; R[i]--;
    }
    m1.mod=1000000007;
    m2.mod=1000000009;
    m1.gauss();
    m2.gauss();
    scanf("%d",&q);
    while(q--){
        scanf("%d",&pos); pos--;
        for(int i=0;i<n;i++)
            scanf(" %c",&col[i]);
        printf("%lld\n",getans());
    }
    return 0;
}
/*
*/