背包问题

题目：

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 v[i]，价值是 w[i]。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤10000
0<vi,wi≤10000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

8


2.1 版本1 二维

（1）状态f[i][j]定义：前 ii个物品，背包容量 j 下的最优解（最大价值）：

当前的状态依赖于之前的状态，可以理解为从初始状态f[0][0] = 0开始决策，有 N 件物品，则需要 N 次决 策，每一次对第 i 件物品的决策，状态f[i][j]不断由之前的状态更新而来。
（2）当前背包容量不够（j < v[i]），没得选，因此前 ii 个物品最优解即为前 i−1个物品最优解：

对应代码：f[i][j] = f[i - 1][j]。
（3）当前背包容量够，可以选，因此需要决策选与不选第 ii 个物品：

选：f[i][j] = f[i - 1][j - v[i]] + w[i]。
不选：f[i][j] = f[i - 1][j] 。
我们的决策是如何取到最大价值，因此以上两种情况取 max() 。
代码如下：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MAXN = 1005;
int v[MAXN]; // 体积
int w[MAXN]; // 价值
int f[MAXN][MAXN]; // f[i][j], j体积下前i个物品的最大价值

int main()
{
　　int n, m;
　　cin >> n >> m;
　　for(int i = 1; i <= n; i++)  cin >> v[i] >> w[i];

　　for(int i = 1; i <= n; i++)
　　　　for(int j = 1; j <= m; j++)
　　　　{
　　　　　　// 当前背包容量装不进第i个物品，则价值等于前i-1个物品
　　　　　　if(j < v[i])     f[i][j] = f[i - 1][j];
　　　　　　// 能装，需进行决策是否选择第i个物品
　　　　　　else      f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
　　　　}

　　　　cout << f[n][m] << endl;

　　　　return 0;
}