10.7闲话

摆摆摆，我是姬虫摆摆世。

数据结构课终于能听懂了，但是没时间写题了，怎么会是呢😕😕😕

晚上打牛客。应该是切了 ABC 仨题，D 打暴力不知道多少分。感觉基准分都他妈的 200+ 了😅😅😅。

欸今天好像能写的事好少啊，估计是今天太忙了吧，晚上也懒得打 abc 了，明天看看能不能打 arc 吧（双关😕）

闲话不闲了，所以没多少可以写的了，哎。希望没退役的时光再多一点吧，不想回班上 whk，想在机房一直待到死。

哦哦哦今天参加 arc5.0 曲目投票了，我草我他妈真爱必须投 Lost Emotion 啊我草，这么好听的歌🥵🥵🥵。

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推歌：Apollo -TJ.hangneil

虽然真爱投了 Lost Emotion 但是之前推歌推过了。

喜报：两天推了两首飒飒酷热，一首天津红牛，怎么会是呢😕😕😕

（昨天第二首歌在下面的图里）

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CF1264D

我们可以先枚举最终括号匹配的中间点，然后枚举左右的括号数来计算权值，但是我们可以发现：一个括号序列最终匹配的中间点可能不只有一个，因此我们需要一个规则来防止算重。

我们先确定一个括号序列，然后设 \(a_i\) 为 \([1, i]\) 这段区间内 ( 的个数，\(b_i\) 为 \([i+1, n]\) 这段区间内的 ) 的个数，那么显然，这个括号序列的权值为 \(\max_{i=1}^n (\min(a_i, b_i))\)。我们考虑找到这个决策点。

我们可以发现，当我们让 \(i\) 向右扫时，如果扫到了 (，那么会让 \(a_i\) 加一；扫到 ) 会让 \(b_i\) 减一。因此我们可以得到：\(a_i\) 单调递增，\(b_i\) 单调递减。我们把 \(a\) 和 \(b\) 的图像画出来可能就是下面的样子：

而我们要求的答案即为下图中的绿色部分。

我们可以发现，\(a_i=b_i\) 为其最优决策点，且该序列的权值为当前的 \(a_i\)。

回归到最上面的问题，我们的目的是解决计算重复。显然对于一个括号序列，满足 \(a_i=b_i\) 的位置有且仅有一个，那么我们可以直接在 \(a_i=b_i\) 的时候来计算答案。

我们还是枚举中间点 \(p\)，设左边的 ( 有 \(x\) 个，? 有 \(a\) 个，右边的 ) 有 \(y\) 个，? 有 \(b\) 个。并且我们让左右两边的左右括号数量相等，那么我们可以列出下面的式子：

\[ans_p=\sum_{i=0}^a (x+i)\dbinom{a}{i}\dbinom{b}{x+i-y} \]

我们用这个式子可以 \(O(n^2)\) 出答案，我们考虑把这个式子再推推：

\[\begin{aligned} ans_p&=\sum_{i=0}^a (x+i)\dbinom{a}{i}\dbinom{b}{x+i-y}\\ &=x\sum_{i=0}^a\dbinom{a}{i}\dbinom{b}{b+y-x-i}+\sum_{i=0}^a i\dbinom{a}{i}\dbinom{b}{b+y-x-i} \end{aligned} \]

考虑经典结论 \(m\dbinom{n}{m}=n\dbinom{n-1}{m-1}\) 以及范德蒙德卷积，我们可以得到最终的式子：

\[ans_p=x\dbinom{a+b}{b+y-x}+a\dbinom{a+b-1}{b+y-x-1} \]

时间复杂度 \(O(n)\)。

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