做题总结

字符串

能够被分为两个回文串的回文串周期一定整除长度。

如果一个字符串有长度为 \(d_1, d_2\) 的周期，那么 \(\gcd(d_1, d_2)\) 也是它的一个周期

随机生成的字符串，后缀树树高是 log 的

ds

区间问题可以右端点扫描线，也可以枚举最小值

如果三维偏序问题出现了 \(\forall i, x_i<y_i\) 的情况，可以把这个看成区间，用莫队维护，当完全包含区间的时候再计入贡献，剩下一维用分块维护。

众数一般来说都是根号分治

如果所有数出现次数 \(\le \sqrt n\)，可以这样求所有区间众数出现次数：扫描右端点 \(r\)，记 \(s_l\) 为 \([l, r]\) 区间内众数出现次数，考虑每次让 \(r\) 加一，扫描 \(a[r+1]\) 之前出现的所有位置，能把区间划分成一些段，每段从右往左对 \(a[r+1]\) 出现次数取 max，如果取不了就立刻 break。复杂度是 \(n\sqrt n\)，因为最终 \(s\) 之和小于 \(n\sqrt n\)，并且 \(s\) 单调不增，每次取 max 成功都会至少 +1。[ZJOI2022] 众数

dp

发现某个量很难刻画的时候可以在状态里面多加几维，实在不行全放上

转移顺序的问题不用特别担心，一般来说没问题

如果转移的复杂度很高其实可以考虑贪心的转移，比如什么对集合权值取 \(\max\) 之类的就可以直接贪心选一段前缀

图论

带边权树的重心和无边权树重心相同（有无点权不影响），带边权树重心定义：让 \(\sum_{u=1}^ndis(u, x)\times w(u)\) 最小的 \(x\)。[ZJOI2015] 幻想乡战略游戏

求带点权树的重心：先树剖，然后线段树维护区间内点的 \(siz\) 的最大值，然后线段树二分，尽可能取靠右的点使得 \(siz_x\times 2\ge all\)。[ZJOI2015] 幻想乡战略游戏

数学

计数题如果出现了一些操作让你求最终得到的东西个数，一定要从最后得到的东西下手，不要从操作下手，因为会重复。或者强制规定一种唯一的构造方案。

记 \(S(x)\) 为 \(x\) 数位和，那么不存在 \(n\ge 10, x\) 满足 \(S(nx)=nS(x)\)

一堆元素，选最少个或起来是全集的方案数。枚举最少次数，然后做这么多次 FWT 理解理解就可以了，最后答案要除以阶乘。

杂项

旋转偶数边长的矩阵不会改变逆序对数量，旋转奇数边长的矩阵不会改变每个数 \(x+y\) 的奇偶性。