线性相关与线性无关

5.1.3线性相关与线性无关

定义1
设$V$是数域$F$上的线性空间，$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\in V$,如果$F$中存在$n$个不全为零的数$k_1,k_2,\cdots,k_n$使得$\sum_{i=1}^n k_i\alpha_i=\theta$则称
$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性相关，否则称$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性无关.
线性无关亦可等价叙述为：
如果对$F$中$n$个数$k_1,k_2,\cdots,k_n$当$\sum\limits_{i=1}^nk_i\alpha_i=\theta$时，必可推出$k_i=0(i=1,2,\cdots,n)$
或者说，
只要$k_1,k_2,\cdots,k_n$不全为0，则$\sum\limits_{i=1}^nk_i\alpha_i$必不为$\theta$.
定义2
设$V$是数域$F$上的线性空间，对向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\in V$,数$k_1,k_2,\cdots,k_n\in F$,则称$\sum\limits_{i=1}^nk_i\alpha_i$是$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$的一个线性组合.如果向量$\beta$能够写成$\sum\limits_{i=1}^nk_i\alpha_i$,则称$\beta$可以由$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性表出.或者说$\beta$是$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$的线性组合.
定义3
设$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$与$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m$是线性空间$V$中两组向量，如果每个$\alpha_i(i=1,2,\cdots,n)$都可以由向量组$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m$线性表出，我们就称向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$可由向量组$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m$线性表出.若两个向量组可以互相线性表出，就称这两个向量组等价.

定理1
设$V$是一个线性空间，$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n(n \ge 2)$是$V$中向量，则$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性相关的充分必要条件是$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$中必有一个向量$\alpha_i$可由其余的$\alpha_1,\cdots,\alpha_{i-1},\alpha_{i+1},\cdots,\alpha_n$线性表出.
定理2
设$V$是一个线性空间，$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n,\beta$是$V$中的向量，若$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性无关，而$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n,\beta$线性相关，则$\beta$可由$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性表出，且表示法唯一.
定理3
设$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$与$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m$是线性空间$V$中的两组向量，若$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$可由$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m$线性表出，且$n>m$，则$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性相关.$\Downarrow$
推论：
如果$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$可由$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n$线性表出，且$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性无关，则$m\ge n$.