数论 --- 费马小定理 + 快速幂 HDU 4704 Sum

Sum 

Problem's Link:   http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4704

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Mean: 

给定一个大整数N，求1到N中每个数的因式分解个数的总和。

 

analyse:

N可达10^100000，只能用数学方法来做。

首先想到的是找规律。通过枚举小数据来找规律，发现其实answer=pow(2,n-1);

分析到这问题就简单了。由于n非常大,所以这里要用到费马小定理:a^n ≡ a^(n%(m-1)) * a^(m-1)≡ a^(n%(m-1)) (mod m) 来优化一下，不然直接用快速幂会爆。

Time complexity: O(n)

 

Source code: 

 

/*
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* Verdict: Accepted
* Submission Date: 2015-05-22-21.21
* Time: 0MS
* Memory: 137KB
*/
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <set>
#include <string>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <climits>
#include <map>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define  LL long long
#define  ULL unsigned long long
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
const int MAXN=100010;
char s[MAXN];
long long quickPower(long long a,long long b,long long m)
{
        long long ans=1;
        while(b)
        {
                if(b&1) ans=(ans*a)%m,b--;
                b/=2,a=a*a%m;
        }
        return ans;
}
int main()
{
        ios_base::sync_with_stdio(false);
        cin.tie(0);
        while(~scanf("%s",s))
        {
                ULL n=0;
                for(int i=0;s[i];++i)
                        n=(n*10+s[i]-'0')%(mod-1);
                printf("%d\n",(int)quickPower(2,((n-1)%(mod-1))%mod,mod));
        }
        return 0;
}
/*

*/