矩阵基础内容

矩阵定义

MxN的矩阵

如

如上图，若为矩阵An

\(A_{ij}\) 为第i行第j列元素，如\(A_{11}\) = 30 \(A_{12}=28\)

向量

特殊的矩阵，大小为Mx1（仅有一列），称为向量

如An=[4,2,34,1] 则\(y_1 = 4\) \(y_2=2\),以此类推

向量的两种索引

0-indexed和1-indexed,区别非常细微，主要是起始下标为0和为1的区别

矩阵运算

矩阵/向量加乘除（常数）法

只有同样大小的矩阵才可以运算，即矩阵A&&B大小都为m*n,乘除同理

\(\left[ \begin{matrix} 1 & 0\\ 2 & 5\\ 3 & 1\end{matrix} \right]\)+\(\left[ \begin{matrix} 4 & 0.5 \\ 2 & 5 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right]\) = \(\left[ \begin{matrix} 5 & 0.5 \\ 4 & 10 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right]\)

\(\left[ \begin{matrix} 1 & 0\\ 2 & 5\\ 3 & 1\end{matrix} \right]\) * 3 = \(\left[ \begin{matrix} 3 & 0\\ 6 & 15\\ 9 & 3\end{matrix} \right]\)

\(\left[ \begin{matrix} 4 & 0\\ 6 & 3\end{matrix} \right]/4 = \left[ \begin{matrix} 1&0\\ 1.5 & 0.75 \end{matrix} \right]\)

矩阵乘法（双矩阵）

两矩阵相乘，要求前矩阵的列数等于后矩阵的行数，即形如\(矩阵A_{m*n} \quad矩阵B_{n*s}\)

前矩阵的第i行中的所有元素，依次乘后矩阵第j列的元素（前矩阵的行向量，乘后矩阵的列向量），得到结果矩阵的第i行第j列的元素值，如下图中，结果矩阵的第2行第1列的元素，就是由4*1+0*5得来的

\(\left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ 4 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix} 1 \\ 5\end{matrix}\right] = \left[ \begin{matrix} 16\\ 4 \\ 7 \end{matrix}\right]\)

ps.双矩阵乘法不存在交换律，但是存在分配律

逆矩阵

\(矩阵A的逆矩阵A^{-1}符合条件使得A*A^{-1} = I\)

转置矩阵

\(若A^{T}是矩阵A的转置矩阵 则A^T 的第j行第i列的值=A的第i行第j列\)