[CF932G]Palindrome Partition

题目

        点这里看题目。

分析

        第一步，考虑转换一下题意。
        设\(a[i]\)为任意字符串的第\(i\)个字符（从\(1\)标号）。对于两个在原题中要求相等的串——\(s_i\)和\(s_{k-i+1}\)。令\(l=|s_i|\)，\(n=|S|\)，\(s_i[1]=S[p]\)（位置对应）。则：

\[s_i=S[p]S[p+1]...S[p+l-1] \]

\[s_{k-i+1}=S[n-p-l+2]S[n-p-l+3]...S[n-p+1] \]

        即有：

\[\forall 0\le k<l, S[p+k]=S[n-p-l+1+k] \]

        考虑把\(S\)倒过来，这就是要求回文性地相等了。考虑构造新串\(S'=S[1]S[n]S[2]S[n-1]...S[\frac n 2]S[\frac n 2+1]\)，原来的对应关系就变成了一个回文的对应关系。于是原来的一个划分对应了新串上的一个偶回文划分（只能划分出偶回文串）。
        令\(S=S'\)，一个\(dp\)不难想到：
        \(f(i)\)：前\(i\)个字符的偶回文划分方案；
        转移：

\[f(i)=\sum_{0\le j<i}f(j)[S[j+1...i]\text{为偶回文串}] \]

        后面的条件可以用回文自动机的\(fail\)来跳转。
        然后你会发现这其实是\(O(n^2)\)的，\(T\)了。
        考虑利用性质进行优化。
        对于节点\(x\)，定义\(dif(x)=len(x)-len(fa(x))\)。然后我们还可以得到对于\(x\)，在\(fa\)的树的\(x\)的祖先上第一个\(dif(w)\not=dif(x)\)的点，令\(slink(x)=w\)。
        考虑在\(fa\)树上，\(x\sim slink(x)\)这一段的\(dif\)其实都是一样的。我们不妨考虑用这个性质进行优化。设\(g(x)\)表示\(x\)到\(slink(x)\)这一段上面（不包含\(slink(x)\)，它被看做是下一条链的开头）转移位置的\(f\)的和。那么当\(i\equiv 0(\mod 2)\)就有\(f(i)=\sum_p g(p)\)，也就是从当前的\(last\)开始，每次跳转到下一个链的开头，然后把这一组的和加起来。
        这只是一些想法，下面结合图片来看一看。
        关于\(slink(x)\)，在下面的图片中，红色的箭头就指向了\(x\)对应的\(slink(x)\)：

        对于\(x\)，绿色的线记录了那些\(g(x)\)中应该计算的\(f\)的位置：

        下面考虑如何转移\(g(x)\)。显然直接对\(f\)求和是不现实的。不妨来看一下这个情况，当\(i=i-dif(x)\)的时候，我们就已经计算好了\(g(fa(x))\)了（前提是\(fa(x)\)还和\(x\)在同一组里面）。根据回文串的性质，我们还可以得到\(g(fa(x))\)里面对应的\(f\)的位置：

        其中红色箭头指向\(slink\)。绿色的线表示的是\(g(fa(x))\)中应计算的\(f\)的位置。橙色的表示的是，根据回文串的性质，同一组中每个节点的父亲按照自己的回文中心翻转过来的结果。它们的开始的位置都是\(i-dif(x)\)，证明略。因此，\(g(fa(x))\)实际上在\(i-dif(x)\)的时候就已经被计算了。
        然后你就会发现，\(g(fa(x))\)相比较于\(g(x)\)，只漏了一个\(f(i-len(slink(x))-dif(x))\)（因为在\(i-dif(x)\)中，这个转移点的位置正好是\(fa(x)\)的\(slink\)所翻转过来的），也就是这一组的最后一个串对应的转移点。因此我们只需要在\(g(x)\)中间给它加进去就可以了。需要注意的是，如果\(slink(x)=fa(x)\)，也就是自己就是这一组的最后一个，这样的转移就不能进行。
        出于一些奇特的原因，\(slink(x)\)链的长度似乎是不会超过\(O(\log_2n)\)的。我不会证，大家可以去看\(yyb\)巨佬的博客。洛谷题解区里面也有他的题解。
        于是这道题就被\(O(n\log_2n)\)地解决了。

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>

const int mod = 1e9 + 7;
const int MAXN = 1e6 + 5;

template<typename _T>
void read( _T &x )
{
	x = 0; char s = getchar();int f = 1;
	while( s < '0' || '9' < s ) { f = 1; if( s == '-' ) f = -1; s = getchar(); }
	while( '0' <= s && s <= '9' ) { x = ( x << 3 ) + ( x << 1 ) + s - '0', s = getchar(); }
	x *= f;
}

template<typename _T>
void write( _T x )
{
	if( x < 0 ) { putchar( '-' ), x = -x; }
	if( 9 < x ) { write( x / 10 ); }
	putchar( x % 10 + '0' );
}

int g[MAXN], f[MAXN], slink[MAXN], dif[MAXN];
int ch[MAXN][26], fa[MAXN], len[MAXN];
char Snat[MAXN], S[MAXN];
int N, lst, siz;

int main()
{
	scanf( "%s", Snat + 1 ); N = strlen( Snat + 1 );
	for( int i = 1 ; i <= N >> 1 ; i ++ ) S[( i << 1 ) - 1] = Snat[i];
	for( int i = ( N >> 1 ) + 1 ; i <= N ; i ++ ) S[( N - i + 1 ) << 1] = Snat[i];
	int x, p, cur;
	f[0] = 1;
	fa[0] = ++ siz, len[1] = -1;
	for( int i = 1 ; i <= N ; i ++ )
	{
		x = S[i] - 'a';
		while( S[i] ^ S[i - len[lst] - 1] ) lst = fa[lst];
		if( ! ch[lst][x] )
		{
			cur = ++ siz, p = fa[lst]; len[cur] = len[lst] + 2;
			while( S[i] ^ S[i - len[p] - 1] ) p = fa[p];
			fa[cur] = ch[p][x], ch[lst][x] = cur;
			dif[cur] = len[cur] - len[fa[cur]], slink[cur] = ( dif[cur] == dif[fa[cur]] ) ? slink[fa[cur]] : fa[cur];
		}
		lst = ch[lst][x];
		for( p = lst ; p ; p = slink[p] )
		{
			g[p] = f[i - len[slink[p]] - dif[p]];
			if( slink[p] ^ fa[p] ) g[p] = ( g[p] + g[fa[p]] ) % mod;
			if( ! ( i & 1 ) ) f[i] = ( f[i] + g[p] ) % mod;
		}
	}
	write( f[N] ), putchar( '\n' );
	return 0;
}