CF1665A题解

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题目大意

有 \(t\) 组数据，每组数据给你一个正整数 \(n\) ，让你输出任意一组正整数 \(a\) ， \(b\) ， \(c\) ， \(d\) ，使得满足 \(\gcd(a,b) = \operatorname{lcm}(c,d)\) 并且 \(a + b + c + d = n\)

解法

首先特判 \(n\) 是否为 \(4\) 的倍数，若成立则令 \(a\) ， \(b\) ， \(c\) ， \(d\) 均为 \(\frac{n}{4}\) 。

证明：

根据最大公约数和最小公倍数的性质： 若 \(a = b\) ， 则 \(\gcd(a,b) = a\) ， \(\operatorname{lcm}(a,b) = a\) 。

\(\therefore\) \(\gcd(a,b) = \operatorname{lcm}(c,d) = \frac{n}{4}\) 并且 \(a + b + c + d = n\) 。

不成立则开始枚举 \(a\) ， \(b\) ， \(c\) 。 \(d\) 可以通过 \(n - a - b - c\) 得到，不用进行 \(4\) 重循环。 \(a\) 从 \(\frac{n}{2}\) 开始枚举到 \(1\) ， \(b\) 从 \(n - a\) 开始枚举到 \(1\) ， \(c\) 从 \(n - a - b\) 开始枚举到 \(1\) 。并且枚举 \(b\) 时若 \(n - a - b < 2\) 进入下一个循环，枚举 \(c\) 时若 \(n - a - b - c < 1\) 进入下一个循环。

对于上述操作的解释： 因为这道题目的要求是存在解即可输出。所以 \(a\) 从 \(\frac{n}{2}\) 开始枚举可以保证 \(b + c + d\) 一定大于等于 \(\frac{n}{2}\) ，同时减少了时间复杂度。 \(b\) 与 \(c\) 的枚举方式同样减少了时间复杂度。对于 枚举 \(b\) 时的特判是因为若 \(n - a - b < 2\) 则 \(d\) 不成立，枚举 \(c\) 时的特判是因为若 \(n - a - b - c < 1\) 则 \(d\) 不成立。

在枚举出 \(a\) ， \(b\) ， \(c\) ， \(d\) 后若满足 \(\gcd(a,b) = \operatorname{lcm}(c,d)\) 则输出答案并进入下一组数据。

代码

#include<iostream>
using namespace std;

int n,a,b,c,d,t;
bool flag = false;

int gcd(int x,int y)
{
    return y==0?x:gcd(y,x%y);
}

int lcm(int x,int y){
    return x * y / gcd(x,y);
}

int main()
{
    cin >> t;
    while(t--){
        cin >> n;
        if(n%4==0){
            a = n/4;
            b = a;
            c = b;
            d = c;
            cout << a << " " << b << " " << c << " " << d << endl;
            continue;
        }
        flag = false;
        for(a = n/2;a>=1;a--){
            for(b = n - a;b>=1;b--){
                if(a+b>n-2){
                    continue;
                }
                for(c = n - a - b;c>=1;c--){
                    if(n-a-b-c<1){
                        continue;
                    }
                    d = n - a - b - c;
                    if(gcd(a,b)==lcm(c,d)){
                        cout << a << " " << b << " " << c << " " << d << endl;
                        flag = true;
                        break;
                    }
                }
                if(flag){
                    break;
                }
            }
            if(flag){
                break;
            }
        }
    }
    return 0;
}