[luogu p8255] [NOI Online 2022 入门组] 数学游戏

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P8255 [NOI Online 2022 入门组] 数学游戏 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

\(\mathtt{Description}\)

\(t\) 组多测。

每组给定 \(x, z\)，求最小的满足 \(x \times y \times \gcd(x, y) = z\) 的 \(y\)。\(y\) 不保证有解。

\(\mathtt{Data} \text{ } \mathtt{Range} \text{ } \mathtt{\&} \text{ } \mathtt{Restrictions}\)

• \(1 \le t \le 5 \times 10^5\)
• \(1 \le x \le 10^9\)
• \(1 \le z < 2^{63}\)

\(\mathtt{Solution}\)

首先看到这个题，有一个非常明显的东西：

如果有解，肯定 \(x | z\)，那么我们的第一步应该是判断掉 \(x \nmid z\) 的情况。其次考虑令 \(k = \dfrac{z}{x}\)，问题转化为满足 \(y \times \gcd(x, y) = k\) 的最小的 \(y\)。

其次我们发现：最小的 \(y\) 挺迷惑的，可以证明的是 \(y\) 至多只能有 \(1\) 个解。

令 \(g = \gcd(x, y)\)，设 \(a = \dfrac{x}{g}\)，\(b = \dfrac{y}{g}\)。进一步转化为 \(k = b \times g^2\)，同时得到 $ x = a \times g$, \(y = b \times g\), \(\gcd(a, b) = 1\)。

想到这样一个性质：\(\gcd(a, b) = 1 \ \Rightarrow \ \gcd(r \times a^s, r \times b^t) = r\)。

考虑到 \(x = a \times g\)，\(k=b\times g^2\)。此时我们发现，令 \(r = g^2\)，\(s = 2\)，\(t = 1\)，就能得到 \(g^2=\gcd(a^2 \times g^2, b \times g^2) = \gcd(x^2, k)\)。我们就能用已知表示出 \(g\) 了。

接下来构造 \(y\) 即可。具体地：

\[y =\dfrac{k}{\sqrt{\gcd(x^2, k)}} \]

当 \(\gcd(x^2, k)\) 不为完全平方数时，无解。

同时我们还能发现，\(y\) 至多只能有一个解。有没有什么简洁美丽的证明证明此题中 \(y\) 至多只能有 \(1\) 个解？ - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

\(\mathtt{Time} \text{ } \mathtt{Complexity}\)

我不知道。sqrt复杂度是多少？？？？

\(\mathtt{Code}\)

//大无语纯数学题。码力考察0，不上代码

不错的题！