[luogu p6857] 梦中梦与不再有梦

传送门

ps: 今天开始我要换题解布局了,不再有原题内容,不再有评测记录,而是加入了“一句话题意(Summarization)”和“附言(More)”。附言是用来写一些感想和从这道题获得的经验之类的。

\(\mathtt{Summarization}\)

给定一个无向完全图,求它的最大半欧拉子图。

\(\mathtt{Solution}\)

首先我们要明白一个事,一个点数为 \(n\) 的无向完全图中,每一个点都会有 \(n - 1\) 条边。而这个无向完全图的总边数就是 \(\dfrac{n(n-1)}{2}\)

分情况讨论:

如果这个无向完全图的点数 \(n\) 满足 \(n \nmid 2\),那么每一个点就会向外连 \(n - 1\) 条边。我们都知道,奇数-1会得到偶数,因此这张图中每一个点都是偶点。整张图就是一个欧拉图

因此若一张无向完全图的点数 \(n\) 满足 \(n \nmid 2\),它的最大半欧拉子图就是它自己。边数就是整张图的边数,\(\dfrac{n(n-1)}{2}\)

如果这个无向完全图的点数 \(n\) 满足 \(n \mid 2\),同理会得到每个点都是奇点。

似乎处理最大半欧拉子图有点棘手,不如我们逆向思维,考虑最少删多少条边能让这张图变成一张半欧拉图
众所周知,删一条边能让两个点的度减1.

把一张图变成半欧拉图,那么我们最多只能剩下两个奇点。如果剩下的 \(n - 2\) 个奇点能够通过删一条边,减去一个度变成偶点,那么就变成半欧拉图了!

然而你会发现,\(n\) 是一个偶数,\(n - 2\) 也是偶数!!

而且完全图,哪一条边都是应有尽有的!!

那么!

重点来了,我们只需要删除 \(\dfrac{n - 2}{2}\) 条没有公共顶点的边,就可以达到只剩下两个奇点的目的了

可以这么理解:将剩下的 \(n - 2\) 个奇点两两配对,比如这几个奇点编号分别是 \(1, 2, 3, 4, 5, 6\)

随便两两配对(随机怎么配都行):

1 4
2 6
3 5

只需要把每一对中间的边删掉(在此例子中就是:\(1 - 4, 2 - 6, 3 - 5\) 这三条边)删掉,就可以让 \(1, 2, 3, 4, 5 ,6\) 的度分别恰好 \(-1\)。原先他们都是奇点,减去1个度自然就变成偶点了!

可能有些小伙伴还是没太明白。没有关系,我举一个例子:

这是一张 \(n=6\) 的无向完全图。

首先我们随便抽两个幸运之点,作为最后保留的两个奇点。随便抽哈,比如 \(1, 4\) 吧。我们会保持这两个点一直是奇点。

剩下的 \(2, 3, 5 ,6\) 就得乖乖被删掉一个度了。

怎么删?随便两两配对:

2 6
3 5

删掉 \(2-6\)\(3-5\) 这两条边,便可让 \(2, 3, 5, 6\) 这四个点的度全部乖乖 \(-1\)

那么最后,\(1, 4\) 就是这张图的唯二奇点,整张图便会变为半欧拉图。

最后的最后,我们就可以得到式子了:

\(f(n)\) 为答案,则:

\(f(n) = \begin{cases}\dfrac{n(n-1)}{2}&x \nmid 2\\\dfrac{n(n-1) - n + 2}{2}&x\mid2\end{cases}\)

\(\mathtt{Code}\)

/*
 * @Author: crab-in-the-northeast 
 * @Date: 2020-10-20 11:16:31 
 * @Last Modified by: crab-in-the-northeast
 * @Last Modified time: 2020-10-20 11:19:29
 */
#include <iostream>
#include <cstdio>

typedef long long ll;

int main() {
    int T;
    std :: scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        ll n;
        std :: scanf("%lld", &n);
        if (n % 2 != 0)
            std :: printf("%lld\n", n * (n - 1) / 2);
        else
            std :: printf("%lld\n", (n * (n - 1) - n + 2) / 2);
    }
    return 0;
}

\(\mathtt{More}\)

本篇题解花费1个小时。如果你看懂了,或者觉得我写的题解很不错,请给个大拇指把!球球啦,嗷呜~

然后,感兴趣的读者可以思考以下几个问题:

  • 如果本题要求必须回到最开始的梦,才能完成休息,答案是?
  • 如果本题要求在能获得最大休息值的情况中,有多少种做梦方式,答案是?

更有兴趣的读者也可以自己想一些更有趣的问题哦。

那么本篇题解就至此结束啦拜拜~~~~

posted @ 2020-10-20 13:40  东北小蟹蟹  阅读(195)  评论(0编辑  收藏