[luogu p1074] 靶型数独

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题面

题目描述

小城和小华都是热爱数学的好学生，最近，他们不约而同地迷上了数独游戏，好胜的他们想用数独来一比高低。但普通的数独对他们来说都过于简单了，于是他们向 Z 博士请教，Z 博士拿出了他最近发明的"靶形数独"，作为这两个孩子比试的题目。

靶形数独的方格同普通数独一样，在 \(9\) 格宽×\(9\) 格高的大九宫格中有\(9\) 个 \(3\) 格宽×\(3\) 格高的小九宫格（用粗黑色线隔开的）。在这个大九宫格中，有一些数字是已知的，根据这些数字，利用逻辑推理，在其他的空格上填入 \(1\) 到 \(9\)的数字。每个数字在每个小九宫格内不能重复出现，每个数字在每行、每列也不能重复出现。但靶形数独有一点和普通数独不同，即每一个方格都有一个分值，而且如同一个靶子一样，离中心越近则分值越高。（如图）

上图具体的分值分布是：最里面一格（黄色区域）为 \(10\) 分，黄色区域外面的一圈（红色区域）每个格子为\(9\)分，再外面一圈（蓝色区域）每个格子为$ 8$ 分，蓝色区域外面一圈（棕色区域）每个格子为\(7\) 分，最外面一圈（白色区域）每个格子为\(6\)分，如上图所示。比赛的要求是：每个人必须完成一个给定的数独（每个给定数独可能有不同的填法），而且要争取更高的总分数。而这个总分数即每个方格上的分值和完成这个数独时填在相应格上的数字的乘积的总和。

总分数即每个方格上的分值和完成这个数独时填在相应格上的数字的乘积的总和。如图，在以下的这个已经填完数字的靶形数独游戏中，总分数为 2829。游戏规定，将以总分数的高低决出胜负。

由于求胜心切，小城找到了善于编程的你，让你帮他求出，对于给定的靶形数独，能够得到的最高分数。

输入输出格式

输入格式

一共 \(9\) 行。每行$ 9 $个整数（每个数都在 \(0-9\) 的范围内），表示一个尚未填满的数独方格，未填的空格用"\(0\)"表示。每两个数字之间用一个空格隔开。

输出格式

输出共 \(1\) 行。输出可以得到的靶形数独的最高分数。如果这个数独无解，则输出整数\(-1\)。

输入输出样例

输入样例 #1

7 0 0 9 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 5 9 0 0
0 0 0 2 0 0 0 8 0
0 0 5 0 2 0 0 0 3
0 0 0 0 0 0 6 4 8
4 1 3 0 0 0 0 0 0
0 0 7 0 0 2 0 9 0
2 0 1 0 6 0 8 0 4
0 8 0 5 0 4 0 1 2

输出样例 #1

2829

输入样例 #2

0 0 0 7 0 2 4 5 3
9 0 0 0 0 8 0 0 0
7 4 0 0 0 5 0 1 0
1 9 5 0 8 0 0 0 0
0 7 0 0 0 0 0 2 5
0 3 0 5 7 9 1 0 8
0 0 0 6 0 1 0 0 0
0 6 0 9 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 6

输出样例 #2

2852

说明

【数据范围】
\(40\%\)的数据，数独中非 \(0\) 数的个数不少于\(30\)。
\(80\%\)的数据，数独中非 \(0\) 数的个数不少于\(26\)。
\(100\%\)的数据，数独中非\(0\)数的个数不少于\(24\)。
NOIP 2009 提高组 第四题

分析

这是一道很有趣的技巧性搜索，看了下数据范围和时限，好像暴搜有点危险，自己就加了一个优化：
找空地少的一行开始搜。
啥意思呢，我们平常做数独的时候，一般都是从填的数最少的那一行开始，如果程序我们用这个优化，会减掉好多枝。美滋滋。
然后就是一些细节问题了，比如上面所说的优化，还有分数的计算什么的，在这些方面我踩了好多坑，debug了很长时间。不过多踩点坑总是好的。
具体请见代码，注释个人认为比较详尽。
另外，从主函数开始阅读代码是个好习惯，否则你可能会云里雾里。

代码

/*
 * @Author: crab-in-the-northeast 
 * @Date: 2020-02-23 13:23:05 
 * @Last Modified by: crab-in-the-northeast
 * @Last Modified time: 2020-02-23 16:03:12
 */
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>

const int maxn = 15;
int sudoku[maxn][maxn],score[maxn][maxn];//数独和每个位置对应的分数
int first[85];
//这个first有点难理解，对first[i]，i表示顺序，i越小，扫到的点越靠前。
//而first[i]是一个int值，用来存放第i个搜索到的点在数独中的位置，这里所说的位置
//已经经过了映射，也就是将数独中点的位置的二维映射到一维。
//映射方法很简单，(x-1)*9+y
int ans;//存放答案
bool visc[maxn][maxn],visr[maxn][maxn],visg[maxn][maxn];
//标记每一行，每一列，每一宫的访问情况。具体：
//比如visc[i][j]表示第i行中数j是否出现。
//根据英文来说，visc是列，visr是行，但是本程序中全都写反了，也就懒得改了。
bool fnd;//标记有无解

inline int max(int a,int b) {
    return a > b ? a : b;
}

struct row {
    int ind,zero;
}r[maxn];

bool cmp(row a,row b) {
    return a.zero < b.zero;
}

int cal() {
    int ret = 0;
    for(int i = 1; i <= 9; i++) 
        for(int j = 1; j <= 9; j++)
            ret += sudoku[i][j] * score[i][j];//计算每个位置的分数，并进行累加
    return ret;
}

void dfs(int step) {
    if(step > 81) {//搜完了
        fnd = true;//表示有解
        ans = max(ans,cal());//更新答案
        return ;
    }
    
    int x = first[step] / 9 + 1;
    int y = first[step] % 9;
    if(!y) {
        x--;
        y = 9;
    }
    //一维映射到二维。
    if(sudoku[x][y]) dfs(step + 1);
    //如果sudoku[x][y]成立说明当前的数不是0，也就是当前位置是已知的数，不能更改。
    //我们直接跳过去，搜索下一个就好、
    else {
        for(int i = 1; i <= 9; i++) {
            if(!visc[x][i] && !visr[y][i] && !visg[(x - 1) / 3 * 3 + (y - 1) / 3 + 1][i]) {//判断当前位置填这个数是否合法
                sudoku[x][y] = i;
                visc[x][i] = visr[y][i] = visg[(x - 1) / 3 * 3 + (y - 1) / 3 + 1][i] = true;
                //标记
                dfs(step + 1);//递归
                sudoku[x][y] = 0;
                visc[x][i] = visr[y][i] = visg[(x - 1) / 3 * 3 + (y - 1) / 3 + 1][i] = false;        
                //回溯        
                //printf("lalalalala\n");
            }
        }
    }
}

int main() {
    for(int i = 1; i <= 9; i++) {
        int zero = 0;//记录当前行中0的数量。
        for(int j = 1; j <= 9; j++) {
            scanf("%d",&sudoku[i][j]);
            if(!sudoku[i][j]) zero++;
            else {
                visc[i][sudoku[i][j]] = true;
                visr[j][sudoku[i][j]] = true;
                visg[(i - 1) / 3 * 3 + (j - 1) / 3 + 1][sudoku[i][j]] = true;         
                //这里千万别落写，我在这里卡了半小时，，（惭愧.jpg）
            }
        }
        r[i].ind = i;//这里要记录一下，因为一会要排序，行数会丢失。
        r[i].zero = zero;//记录当前行中0的数量
    }
    std :: sort(r+1,r+10,cmp);//对行进行排序
        
    for(int i = 1; i <= 9; i++) {
        for(int j = 1; j <= 9; j++) {
            int x = r[i].ind;
            int y = j;
            first[i * 9 - 9 + j] = x * 9 - 9 + y;
            //标记位置。
        }
    }

    for(int i = 1,j = 10 - i; i <= 5; i++,j--)
        for(int k = i; k <= j; k++)
            score[i][k] = score [k][i] = score[k][j] = score[j][k] = i + 5;
    //预处理score数组，便于计算总分
    dfs(1);//进行dfs
    if(fnd) printf("%d\n",ans);
    else printf("-1\n");
    //输出答案
    return 0;//结束程序
}

评测结果

AC 100：R30975285

over.