柯西收敛准则的证明（采用确界定理）

柯西收敛准则的表述

对于一个数列 \(\{a_n\}\)，若其满足 \(\forall \varepsilon > 0\)，\(\exists N\)，\(\forall n, m \ge N\)，有 \(|a_n - a_m| < \varepsilon\)，称其为柯西序列．这一条件的直观理解是：随着项数的增加，任意两项的距离将趋近于 \(0\)．

柯西收敛准则：一个数列是柯西序列，等价于该数列收敛．

必要性证明（收敛推柯西）

必要性证明是比较容易的，可作为刚熟悉 \(\varepsilon - N\) 语言时的习题．

数列 \(\{a_n\}\) 收敛，不妨设 \(\lim_{n \to \infty} a_n = A\)，则 \(\forall \varepsilon > 0\)，\(\exists N\)，\(\forall n, m \ge N\)，\(|a_n - A| < \dfrac \varepsilon 2\)，\(|a_m - A| < \dfrac \varepsilon 2\)．两式相加，配合绝对值不等式立即得到

\[|a_n - a_m| \le |a_n - A| + |a_m - A| < \varepsilon \]

充分性证明（柯西推收敛）

已知数列 \(\{a_n\}\) 是柯西数列，证明 \(\{a_n\}\) 收敛．这个则比较难，这里我使用确界定理辅助证明．

先证明柯西数列有界．取 \(\varepsilon = 1\)，则 \(\exists N\)，\(\forall n > N\) 时，\(|a_n - a_N| < 1\)．于是有

\[|a_n| \le |a_n - a_N| + |a_N| < |a_N| + 1 \]

令 \(M = \max\{|a_1|, |a_2|, \ldots, |a_N|\} + 1\)，则 \(\forall n\) 有 \(|a_n| < M\)，这就证明了 \(\{a_n\}\) 有界．

下面令 \(S_n = \{a_n, a_{n + 1}, a_{n + 2}, \ldots\}\)，则由于 \(\forall s \in S_n\)，都有 \(|x| < M\)，因此 \(M\) 是 \(S_n\) 的一个界．根据确界原理，\(S_n\) 存在上确界 \(\sup(S_n) = r_n\) 和下确界 \(\inf(S_n) = l_n\)，且 \(|l_n|, |r_n| < M\)，因此数列 \(\{l_n\}\)，\(\{r_n\}\) 同样有界．

又因为 \(S_n = a_n \cup S_{n + 1}\)，因此 \(S_n\) 的上确界 \(r_n\) 一定是 \(S_{n + 1}\) 的一个上界，从而不小于 \(S_{n + 1}\) 的上确界，故 \(r_n \ge r_{n + 1}\)．同理 \(l_n \le l_{n + 1}\)．同时，我们又有 \(l_n \le a_n \le r_n\)，所以最终能写出这样一串不等式：

\[l_n \le l_{n + 1} \le a_{n + 1} \le r_{n + 1} \le r_n \]

\(\{l_n\}\) 和 \(\{r_n\}\) 单调有界，因此 \(\{l_n\}\)，\(\{r_n\}\) 收敛．不妨设 \(\lim_{n \to \infty} l_n = L\)，\(\lim_{n \to \infty} r_n = R\)，下面证 \(\boldsymbol{L = R}\)．

第一步是等价转化一下柯西数列的条件：\(\forall \varepsilon > 0\)，\(\exists N\)，\(\forall n \ge N\)，\(\forall n_1, n_2 \ge n\)，\(|a_{n_1} - a_{n_2}| < \varepsilon\)．等价性是因为这里 \(n_1\) 和 \(n_2\) 事实上还是取遍所有 \(\ge N\) 的正整数，所以条件本质没有任何变化．

然后是利用确界的性质．根据确界的定义，可以在 \(S_n\) 中找到一个大于 \(r_n - \dfrac \varepsilon 2\) 的数，也可以找到一个小于 \(l_n + \dfrac \varepsilon 2\) 的数．即 \(\exists s, t \ge n\)，\(a_s > r_n - \dfrac \varepsilon 2\)，\(a_t < l_n + \dfrac \varepsilon 2\)．得

\[|a_s - a_t| > |r_n - l_n - \varepsilon| \]

很明显，\(s\) 和 \(t\) 一定在柯西数列的条件射程范围内，因为柯西条件对第 \(n\) 项后的任意两项距离间隔提出了要求．因此，\(|a_s - a_t| < \varepsilon\)．对比两个不等式又可得

\[|r_n - l_n - \varepsilon| < \varepsilon \]

运用绝对值不等式，得

\[|r_n - l_n| \le |r_n - l_n - \varepsilon| + \varepsilon < 2\varepsilon \]

根据 \(\varepsilon\) 的任意性，可以得到 \(\lim_{n \to \infty} r_n - l_n = R - L = 0\)，这就得到 \(L = R\)．

最后，根据两边夹定理，由于 \(l_n \le a_n \le r_n\)，而 \(\{l_n\}\) 和 \(\{r_n\}\) 收敛于同一个值，因此 \(\{a_n\}\) 也必收敛于这个值．这就得证了 \(\{a_n\}\) 的收敛性．