【题解】[SHOI2005]树的双中心

题目描述

solution:
考虑如何化简这个 $min$ 函数。

假设所选的点为 $x$，$y$，那么从路径 $xy$ 的中点进行划分，可知答案为左边部分为到 $x$ 的距离加上右边部分到 $y$ 的距离。

考虑如何理解 $min$ 函数：可以看作选出 $x$，$y$，然后对每一个点都任意选择加上到 $x$ 或到 $y$ 的距离。由上可知，最优的决策一定是整个树被一条边分成两颗树后的结果。

我们可以不枚举 $x$，$y$，而是枚举这个断开的点，再分别求出两个树的带权重心，把两棵树的花费加起来即可。

总的来说，对于 $x$ ，$y$ ,我们不能求出划分点，但对于给定的划分点，我们的 $x$, $y$ 是固定的，而且恰好是树的重心。

求重心可以$O(h)$。具体做法是每次都跳重儿子。所以时间复杂度$O(nh)$。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=50005;
inline int read()
{
	int X=0; bool flag=1; char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') flag=0; ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9') {X=(X<<1)+(X<<3)+ch-'0'; ch=getchar();}
	if(flag) return X;
	return ~(X-1);
}
struct Edge{
	int u,v;
}s[N];
int head[N*2],nxt[N*2],to[N*2],p[N*2],cnt,_siz;
int n,f[N],g[N],val[N],siz[N],fa[N],res,ans,sum;
int g2[N];
int son[N],son2[N];//重儿子和次重儿子，和长链剖分也有关系 
void add(int x,int y,int z) {
    to[++cnt]=y,nxt[cnt]=head[x],head[x]=cnt,p[cnt]=z;
}
void dfs(int x,int fath) {
	siz[x]=val[x];
	for(int i=head[x];i;i=nxt[i]) {
		int y=to[i];
		if(y==fath) continue;
		fa[y]=x;
		dfs(y,x);
		siz[x]+=siz[y];
		f[x]+=f[y]+siz[y];
		if(siz[y]>siz[son[x]]) son2[x]=son[x],son[x]=y;
		else if(siz[y]>siz[son2[x]]) son2[x]=y;
	}
}
void dfs2(int x,int fath) {
	if(x==1) g[x]=f[x];
	else g[x]=g[fath]+_siz-2*siz[x];
	for(int i=head[x];i;i=nxt[i]) {
		int y=to[i];
		if(y==fath) continue;
		dfs2(y,x);
	} 
}
void dfs3(int x,int fath,int C) {
	if(x==0) return;
	ans=min(ans,g2[x]);
	int A=son[x],B=son2[x];
	if(A!=C) {
		if(siz[A]>_siz/2) {
			g2[A]=g2[x]+_siz-2*siz[A];
			dfs3(A,x,C);
		}
	}
	if(B!=C) {
		if(siz[B]>_siz/2) {
			g2[B]=g2[x]+_siz-2*siz[B];
			dfs3(B,x,C);
		}
	}
}
int main() {
	n=read();
	for(int i=1;i<n;i++) {
		s[i].u=read(),s[i].v=read();
		add(s[i].u,s[i].v,i); add(s[i].v,s[i].u,i);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) val[i]=read(),sum+=val[i];
	_siz=sum;
	dfs(1,0);
	dfs2(1,0);
	res=0x3f3f3f3f;
	for(int i=n-1;i>=1;i--) {
		int x=s[i].u,y=s[i].v,tot1,tot2;
		if(fa[x]!=y) swap(x,y);
		ans=0x3f3f3f3f;
		g2[x]=f[x],_siz=siz[x];
		dfs3(x,y,0);//以x为子树的带权重心 
		tot1=ans;
		ans=0x3f3f3f3f;
		int T=1,z=y;
		while(y!=1) {
			siz[y]-=siz[x];
			y=fa[y],T++;
		}
		siz[1]-=siz[x],g2[1]=g[1]-T*siz[x]-f[x],_siz=sum-siz[x];
		dfs3(1,0,x);//以1为子树，去掉x子树的带权重心 
		tot2=ans;
		res=min(res,tot1+tot2);
		while(z!=1) {
			siz[z]+=siz[x];
			z=fa[z];
		}
		siz[1]+=siz[x];
	}
	printf("%d",res);
}

这里面有求重心的方法：https://www.cnblogs.com/knife-rose/p/11258403.html