【题解】「HAOI2016」字符合并

题目描述
有一个长度为n 的01 串，你可以每次将相邻的k 个字符合并，得到一个新的字符并获得一定分数。得到的新字符和分数由这k 个字符确定。你需要求出你能获得的最大分数。

solution:
可以看出本题的解法是区间DP。我们发现，区间[l,r]每次操作的区间不会有交集，因为假设最后只剩了几个点，但这几个点其实是有一个完整的区间变过来的。换句话说，在最后剩下的几个数之中，是由左右两个区间分别独立操作得到的。我们称这样的问题具有可划分性。

再看数据$n<=300$，可以放心大胆地状压。
事实上，区间最后的合并长度是不用写进状态的，为(len-1)%(k-1)+1

几个小优化：

• 枚举k时可以K-1格地跳，因为1+s*(K-1)最终一定被合并成一个点
• color枚举时最多为(1<<len2)-1，其中len2为最终长度

时间复杂度$O(n^2\lfloor \frac{n}{k}\rfloor \ast 2^k)$，这个复杂度虽然看上去和暴力差不多，但实际运行远低于该上界。

细节优化有点多。状压是精髓。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 301;
const int M = 257;
int n, K, c[M], w[M], f[N][N];
long long dp[N][N][M];

//事实上，区间最后的合并长度是不用写进状态的
//区间是不互相包含的
//这也是左右分治的理由
//毕竟左右都在变化，可以看作两个子问题
//亦可看作最终长度的划分
//(len-1)%(k-1)+1;
int maxn;
char a[N];
signed main() {
    memset(dp, -0x3f, sizeof(dp));
    scanf("%d%d", &n, &K);
    scanf("%s", a + 1);
    maxn = (1 << K) - 1;
    n = strlen(a + 1);
    for (int i = 0; i <= maxn; i++) {
        scanf("%d%d", &c[i], &w[i]);
    }
    for (int len = 1; len <= K; len++)
        for (int i = 1; i <= n - len + 1; i++)
            f[i][i + len - 1] = f[i][i + len - 2] * 2 + a[i + len - 1] - '0';
    for (int i = 1; i <= n; i++) dp[i][i][a[i] - '0'] = 0;
    //	for(int i=1;i<=n-K+1;i++) {
    //		int color=f[i][i+K-1];
    //		dp[i][i+K-1][c[color]]=w[color];
    //		printf("dp[%lld][%lld][%lld]=%lld\n",i,i+K-1,c[color],w[color]);
    //	}
    for (int len = 2; len <= n; len++) {
        for (int i = 1; i <= n - len + 1; i++) {
            int j = i + len - 1, len2 = (len - 1) % (K - 1) + 1;
            if (len == K) {
                int color = f[i][j];
                dp[i][j][c[color]] = w[color];
                continue;
            }
            int _maxn = (len2 == 1 ? maxn : (1 << len2) - 1);
            for (int k = i; k < j; k += K - 1) {
                for (int color = 0; color <= _maxn; color++) {
                    int len3 = (k - i) % (K - 1) + 1, len4 = (j - k - 1) % (K - 1) + 1;
                    if (len2 > 1)
                        dp[i][j][color] =
                            max(dp[i][j][color], dp[i][k][color >> len4] + dp[k + 1][j][color % (1 << len4)]);
                    else
                        dp[i][j][c[color]] =
                            max(dp[i][j][c[color]],
                                dp[i][k][color >> len4] + dp[k + 1][j][color % (1 << len4)] + w[color]);
                }
            }
            //			if(len2==1)
            //printf("dp[%lld][%lld][1]=%lld\ndp[%lld][%lld][0]=%lld\n",i,j,dp[i][j][1],i,j,dp[i][j][0]);
        }
    }
    long long res = 0;
    for (int i = 0; i <= maxn; i++) res = max(res, dp[1][n][i]);
    printf("%lld", res);
}