【总结】KM算法

二分图的带权最大匹配

KM 算法只能在满足 带权最大匹配一定是完备匹配 的图中正确求解。

交错树：在匈牙利算法中，如果从某个左部节点出发寻找匹配失败，那么在 DFS 的过程中，所有访问过的节点（若干条路径），以及为了访问这些节点而经过的边，共同构成一棵树。这棵树被成为交错树。

顶标：如果任意 $i,j$ 满足 $A_i+B_j\le w_{i,j}$ ，则把这些整数值 $A_i,B_j$ 成为节点的顶标。

**相等子图：**二分图中所有节点和满足 $A_i+B_j=w_{i,j}$ 的边构成的子图。

定理：若相等子图中存在完备匹配，则这个完备匹配就是二分图的带权最大匹配。

很好理解，因为任何一组匹配的边权之和都不可能大于所有顶标的和。即 ${\sum }_{i,j\in E}{w}_{i,j}\le {\sum }_{i=1}^N(A_i+B_j)$ 。集合 $E$ 是最大带权匹配中的边。 为了达到这个上限，匹配边就必须是相等子图中的边。

综上所述，KM 算法的思路是：

构造 $A_i,B_j$ ，使 ${\sum }_{i=1}^N(A_i+B_i)$ 的和最大，且满足：

1. 将 $A_i+B_j=w_{i,j}$ 的边加入，有完备匹配
2. 任意 $i,j$ 满足 $A_i+B_j\le w_{i,j}$ ，此时相等子图的完备匹配一定最小

KM 算法的实现流程保证了 使相等子图构成完备匹配的顶标是存在的。因为每次对 $A_i(i\in T)$ 减少一个整数值 $△$ ，对 $B_j(j\in T)$ 增大一个整数值 $△$ ，只有四种情况：

1. $i\in T,j\in T$ ，不变
2. $i\notin T,j\notin T$ ，不变
3. $i\in T,j\notin T$ ，$A_i+B_j$ 减小
4. $i\notin T,j\in T$ ， 不可能，因为 $i$ 是被 $j$ 被动加入交错树，只要 $j$ 加入了交错树， $i$ 也一定会被加入交错树

我们在所有 $i\in T,j\notin T$ 的边 $(i,j)$ 之中，找出最小的 $A_i+B_j-w_{i,j}$ 作为 $△$ 的值。（最小是为了保证进入相等子图的边最少，权值和最大）只要原图存在完备匹配，这样的边一定存在。（这也是必须要求存在完备匹配的原因，会增加一部分边到相等子图里，同时是从交错树加入边的唯一可行方式，其他3中情况都不可能在交错树带来新的边）上述方法既不会破坏前提条件，又能保证至少有一条新的边会加入相等子图，使交错树中至少一个左节点能访问到的右部点增多。

时间复杂度 $O(N^4)$ 或 $O(N{M}^2)$ 。随机数据 $O(N^3)$。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=505;
const int INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
inline int read()
{
	int X=0; bool flag=1; char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') flag=0; ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9') {X=(X<<1)+(X<<3)+ch-'0'; ch=getchar();}
	if(flag) return X;
	return ~(X-1);
}
int n,m;
int match[N];
int pre[N];
int la[N],lb[N];
int delta,upd[N];
int W[N][N];
bool vis[N];
void bfs(int root) {
	int px,py=0,yy=0;
	memset(pre,0,sizeof(pre));
	memset(upd,0x3f,sizeof(upd));
	match[py]=root; 
	//px是当前左部节点，py是上一个右部节点，yy是当前遍历的右部节点 
	//最开始只有root在交错树上 
	//默认右部节点0和左部节点匹配 
	//同时在多条增广路中找边！ 
	do{
		px=match[py],delta=INF,vis[py]=1;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		    if(vis[i]==0) {
		    	if(upd[i]>la[px]+lb[i]-W[px][i])
		    	    upd[i]=la[px]+lb[i]-W[px][i],pre[i]=py;
		    	if(upd[i]<delta) delta=upd[i],yy=i;
			}
		for(int i=0;i<=n;i++)
		    if(vis[i]) la[match[i]]-=delta,lb[i]+=delta;
		    else upd[i]-=delta;
		py=yy;
	}while(match[py]!=0);
	//增广路取反 
	while(py) match[py]=match[pre[py]],py=pre[py];
}
long long KM() {
	//初始并不满足 A_i+B_j>=w_{i,j} 
	for(int i=1;i<=n;i++) match[i]=la[i]=lb[i]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		memset(vis,0,sizeof(vis));
		bfs(i);
	}
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) ans=ans+W[match[i]][i];
	return ans;
}
signed main() {
	memset(W,-0x3f,sizeof(W));
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		int x=read(),y=read(),z=read();
		W[x][y]=max(W[x][y],z);
	}
	printf("%lld\n",KM());
	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%lld ",match[i]);
}

后记

1.虚点虚边的添加

因为出题人保证了数据存在完备匹配，所以就算不是完全二分图也可以大胆去跑km。

但有些题目需要特判无解情况，即不存在完美匹配；

还有些题目告诉你，就算非完美匹配也无所谓，为了让权值和最大可以允许某些点无匹配而孤独终生。

这类题目就要求选手对km算法拥有比较清晰的理解，那么请你思考一下，分别应该如何应对？

ok揭晓答案。

首先无论哪种情况，我们都要保证左部点个数大于等于右部点个数，通过为右部点添加虚点来实现。

然后，我们要将原本不存在的边连成虚边。

单纯为了让结构对称而已。如果之前有完美匹配，那么加入虚边虚点后还是存在完备匹配。

例：HDU-2426