【题解】约数之和。

$n\le 10^9$ 。

希望自己思维不要僵化 qwq

主要是解决了板子怎么写的问题。

$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\sigma (ij) \\ =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\sum _{x|i}\sum _{y|j}[(x,y)=1]\frac{i}{x}\times y \\ =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\sum _{x|i}\sum _{y|j}[(\frac{i}{x},y)=1]xy \\ =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\sum _{x|i}\sum _{y|j}xy\sum _{k|(\frac{i}{x},y)}\mu (k) \\ =\sum _{k=1}^n\mu (k)\times k\times (x\sum _{x=1}^{[\frac{n}{k}]}[\frac{n}{kx}]{)}^2 \\ =\sum _{k=1}^n\mu (k)\times k\times (\sum _{i=1}^{[\frac{n}{k}]}\sigma (i){)}^2 \end{gathered}$$

注意到 $\sigma \ast \mu =id$ 即可。

我在求 $\mu (k)\times k$ 的时候求错了。注意它卷出来一定是单位函数。