【学习笔记】CRT 欧拉定理及扩展

其实没啥主题

服了调了一天的板子

说实话学数学好累

上帝与集合的正确用法

• 巧妙的题目
• 假设答案是 $t$
• 我们知道 $t=2^t$
• 因此 $t$ 是常量
• 我们知道 $t\equiv 2^{t\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\phi (p)+\phi (p)}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$（显然 $t>\phi (p)$）
• 因为 $t$ 是常量所以可以递归来搞

ChromaticNumber

• 这题怎么看也不像数论啊

礼物

• 扩展卢卡斯定理板子
• 说白了就是暴力
• 因为忘了exgcd怎么写所以是现推的
• 再也不想写又臭又长的数论模板了 但是jiangly都写了诶

最大团

• 膜拜 Rabbit_Mua 喜提最优解
• 题面比较烂长 我们要有耐心去读
• 答案是 $m^{{\sum }_{d|n}\frac{n!}{(d!{)}^{n/d}(n/d)!}}$
• 剩下的直接套扩展卢卡斯 真香

Two chandeliers

• 被狠狠打脸了
• 显然转化问题
• 考虑$a_i=b_j$产生的贡献
• 每$lcm(n,m)$为一个循环
• 其中$p1,p2,...,p_k$产生的贡献是$0$

Nephren Runs a Cinema

• 题面比较烂长 我们要有耐心读
• 正因为数学差所以要补数学
• 要用到反射原理
• 假设有$n$个人，最后剩了$k(l\le k\le r)$张钞票
• 答案是$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\frac{n+k}{2}}\right)-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\frac{n+k}{2}-1}\right).$
• 证明考虑第$k$步非法，把前$k$步对称
• 答案是${\sum }_{i=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)((\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i}{\frac{n-i+l}{2}})-(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i}{\frac{n-i+r}{2}+1}))\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$
• $n$这么小直接算
• 最后crt合并答案即可
• 哈哈哈还是比较基础的