【学习笔记】概率期望

Cards

离离原上谱

我会转化！！抽象出长度为$k$的序列，其中不同种类数为$i$

概率为$\frac{1}{m^i}$。答案是${\sum }_{i=1}^{k}dp[k][i]\frac{1}{m^i}$

很妙。很妙。

Helping People

我会转化！！设$P_i$表示最大值$\ge i$的概率，$mx$表示原序列最大值

答案是$mx+{\sum }_{i=1}^q{P}_{mx+i}$。考虑算最大值$\le i$的概率。

区间不相交显然可以建树。$dp[i][j]$表示子树内最大值$\le j$的概率。

复杂度$O(q^2)$。

但是我不会实现。

Game with Strings

状压好题。

考虑一个字符串怎么做。

设$f[S]$表示当询问状态为$S$时字符串是否唯一确定，概率是$\frac{1}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{cnt[S]}\right)}$，其中$cnt[S]$表示询问次数

对于$n$个字符串，预处理$num[S]$表示当询问状态为$S$时无法唯一确定的字符串数目，答案是$1+\frac{{\sum }_S\frac{num[S]}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{cnt[S]}\right)}}{n}$ 。

对于预处理$num$数组，考虑枚举两个字符串，求出其最大公共部分，做高维前缀和即可。复杂度$O(n{2}^m)$。

AC Code

Piglet’s Birthday

利用期望的线性性质，考虑一个货架合法的概率。

观察数据范围。发现$a_i\le 100，k_i\le 5$

于是暴力$dp$可过。设$dp[i]$表示有$i$个没有被品尝的概率，组合数转移即可。