【学习笔记】CF1375

这题需要自己构造过程。但是我这方面能力比较差所以还是不会做

显然倒着考虑。如果先手胜利的话那么$a,b,c$一定构成等差数列，并且上一次操作的是$c$。

再往前倒推一步。接下来就非常有运气成分了：假设$c$不能操作，并且任意操作$a,b$都会构成等差数列，解方程算出来$k=2c-a-b$恰好有解，这道题就做完了。

注意到是对相邻的点进行操作，因此猜测存在距离之类的不变量。

假设固定了根节点，那么问题转化为将所有点到根的距离变成$1$，不难发现操作过程中只有一个点距离的奇偶性发生变化，猜测这就是答案的下界。取等分析就不说了。

向来不会工业题

首先考虑一个操作次数$N^2$的解法，我们需要求出所有区间对应的集合。

令$M=\lfloor \frac{N}{2}\rfloor$，首先求出数组$a_i$权值在$[1,M]$的子序列对应的所有集合，以及数组$a_i$权值在$[M+1,N]$的子序列对应的所有集合，那么原数组的任意区间都可以由至多一次操作拼出。不难验证操作次数不会超过$N^2$。

因为这题很考验代码实现能力，所以还是梳理一下代码实现的细节，不然写起来非常想死

对于原问题，我们考虑对权值进行分块处理 一开始想的是按序列进行分块但是就是很难写所以写不出来，应该是想复杂了 ，对于每一个值域块，我们提取出$[l:r]$（询问区间）中在值域块内的数的子序列加入答案，那么对于一个值域块，我们要维护$[l,r]$所对应的答案，转化到子序列中就是$[l^{\prime },r^{\prime }]$对应的答案。于是只用考虑怎么合并。首先求出$[l,M],[M+1,r]$对应的答案（这可以用一个结构体来维护），然后枚举区间，把它在左右两段值域中所对应的两个区间合并起来就是答案。这个地方可以直接二分查找 因为这样比较好写 。取$B=\sqrt{Q}$，操作次数我们之前分析过了是$2N\sqrt{Q}$次，恰好可以通过。

权衡利弊后，发现还是写一下吧，要是代码能力再退步那就寄了

为了避免繁琐的空间问题，我选择使用$\text{vector}$。

这题也引发了我的思考。遇到这样代码比较复杂的题目，能不能在考场上迅速想到最好实现的那种方法呢？因为我们知道数据结构题实现思路不清晰的话甚至不如暴力。那么我们要冷静下来分析，必要时可以牺牲少量常数换取代码长度，这是对我这样代码能力“不那么强”的oier所需要的。

#include<bits/stdc++.h>
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int N=(1<<12)+5;
const int M=(1<<16)+5;
const int B=1<<8;
int n,m,Q,a[N],b[N],id[M];
vector<pair<int,int>>ans;
struct node{
	vector<vector<int>>v;
	vector<int>p;//原序列中的位置 
	void init(int l,int r){
		int len=r-l+1;
		v.resize(len);
		for(int i=0;i<len;i++)v[i].resize(len);
		for(int i=l;i<=r;i++)p.pb(b[i]);
		sort(p.begin(),p.end());
	}
	int ask(int l,int r){
		int ql=lower_bound(p.begin(),p.end(),l)-p.begin(),qr=upper_bound(p.begin(),p.end(),r)-p.begin()-1;
		if(ql<=qr)return v[ql][qr];
		return 0;
	}
}res[N];
int merge(int x,int y){
	if(!x||!y)return x+y;
	ans.pb({x,y});
	return ++m;
}
node getres(int l,int r){
	node ans;
	ans.init(l,r);
	if(l==r){
		ans.v[0][0]=b[l];
		return ans;
	}
	int mid=l+r>>1;
	node L=getres(l,mid),R=getres(mid+1,r);
	int n=r-l+1;
	for(int i=0;i<n;i++){
		for(int j=i;j<n;j++){
			ans.v[i][j]=merge(L.ask(ans.p[i],ans.p[j]),R.ask(ans.p[i],ans.p[j]));
		}
	}
	return ans;
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n>>Q;m=n;
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i],b[a[i]]=i;
	for(int i=1;i<=(n-1)/B+1;i++){
		int l=(i-1)*B+1,r=min(n,i*B);
		res[i]=getres(l,r);
	}
	for(int i=1;i<=Q;i++){
		int l,r,cur=0;
		cin>>l>>r;
		for(int j=1;j<=(n-1)/B+1;j++){
			cur=merge(cur,res[j].ask(l,r));
		}
		id[i]=cur;
	}
	cout<<ans.size()+n<<"\n";
	for(auto x:ans)cout<<x.fi<<" "<<x.se<<"\n";
	for(int i=1;i<=Q;i++)cout<<id[i]<<" ";
}