【学习笔记】[AHOI2022] 山河重整

运算真是太强大辣！！！

这题的切入点非常有意思。记$a_{k+1}$表示和为$k$，且能表达出$1\sim k$的集合的数量，那么我们得出一个非常巧妙的方程

$x(1+x)(1+x^2)....(1+x^n)={\sum }_k{a}_k{x}^k(1+x^{k+1})...(1+x^n)$

注意左右两边的$x$不能抄掉了。这样我们就将组合关系抽象成了一个代数式。注意，我们只需要求出$\{a_i\}$中所有$\le n$的项的值然后用总方案数减去即可。

注意，在生成函数的运算中形式非常重要。借助杨表的组合意义，我们知道$(1+x^k)...(1+x^n)={\sum }_{i\le n}{x}^{\frac{i(i-1)}{2}+ik}{\prod }_{j\le i}\frac{1}{1-x^j}$，因此可以将右边的式子写成${\sum }_k{a}_k{x}^k{\sum }_{i\le n}{x}^{\frac{i(i-1)}{2}+ik}{\prod }_{j\le i}\frac{1}{1-x^j}$。右边的封闭形式不是我们关注的重点，因为再不济也可以直接暴力卷积求出。我们重点关注$x$的次数。

$\{a_i\}$从何解出？注意，我们要求的不是$\{a_i\}$的某一项，而是$A(x)=\sum x^k{a}_k$这个多项式。$x$的次数是自由的，那么我们想到将$x$的次数合并到一起，并且看到$x^{ik}$这一项，很容易让我们想到是将$x^i$这个点值带入到$A(x)$后的结果，基于这个想法，我们得到：

$$x(1+x)(1+x^2)...(1+x^n)=\sum _{i\le n}{x}^{\frac{i(i+1)}{2}}\prod _{j\le i}\frac{1}{1-x^j}\sum _k{a}_k{x}^{(i+1)k}$$

后面那个写成点值表示：

$$x(1+x)(1+x^2)...(1+x^n)=\sum _{i\le n}{x}^{\frac{i(i+1)}{2}}\prod _{j\le i}\frac{1}{1-x^j}A(x^{i+1})$$

这样整个式子只有$A(x)$这一个变量了。将$A(x)$单独提出来，我们得到：

$$A(x)=x(1+x)(1+x^2)...(1+x^n)-\sum _{i\ge 1}{x}^{\frac{i(i+1)}{2}}\prod _{j\le i}\frac{1}{1-x^j}A(x^{i+1})$$

好了，终于可以开始比较系数了！右边的式子看着很复杂，但是我们应该注意到左边式子的次数为$n$，并且 系数是可以进行递推的，具体的，我们先处理出前$\frac{n}{2}$项，然后对于后$\frac{n}{2}$项，我们发现都可以通过前$\frac{n}{2}$的值暴力卷积算出，并且观察右边$x$的次数发现最多只需要做$\sqrt{n}$次卷积，这样就做完了。唯一需要注意的是按$j$从大到小合并。这个计算方式也挺妙的。

变量下标推错了一堆。还是太菜了。

复杂度$O(n\sqrt{n})$。

生成函数$nb$啊！！！

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define db double
using namespace std;
const int N=5e5+5;
int n,mod;
ll f[N],a[N],fac2[N],res;
void add(ll &x,ll y){if((x+=y)>=mod)x-=mod;}
void solve(int n){
    if(n==1)return;
    int m=n>>1;solve(m);
    for(int j=0;j<=n;j++)f[j]=0;
    for(int i=n;i;i--){
        if((ll)i*(i+1)/2<=n){
            for(int j=1;j<=m&&j*(i+1)<=n;j++)add(f[j*(i+1)],a[j]);
            for(int j=n;j>=i;j--)f[j]=f[j-i];
            for(int j=1;j<i;j++)f[j]=0;
            for(int j=i;j<=n;j++)add(f[j],f[j-i]);
        }
    }
    for(int j=m+1;j<=n;j++)add(a[j],mod-f[j]);
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n>>mod,f[1]=a[1]=1;
    for(int i=1;i*(i+1)/2<=n;i++){
        for(int j=i;j<=n;j++)add(f[j],f[j-i]);
        for(int j=1;j+i*(i+1)/2<=n;j++)add(a[j+i*(i+1)/2],f[j]);
    }
    assert(a[1]==1);
    assert(a[0]==0);
    solve(n);
    assert(a[1]==1);
    fac2[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++)fac2[i]=fac2[i-1]*2%mod;
    res=fac2[n];
    for(int i=1;i<=n;i++)add(res,mod-a[i]*fac2[n-i]%mod);
    cout<<(res+mod)%mod;
}