SAM（后缀自动机）速通

约定

记 \(\Sigma\) 为字符集，\(|\Sigma|\) 为字符集大小。

定义 & 定理

SAM 是一个接受 \(s\) 所有后缀的最小 DFA。

定义 \(\mathrm{endpos}(t)\) 表示字符串 \(t\) 在 \(s\) 所有的结束位置（从 \(0\) 开始标号），方便起见，有 \(\mathrm{endpos}(t_{0})\) 定义为 \(\{ -1,0,\dots,|S|-1 \}\)。
我们将所有 \(\mathrm{endpos}\) 相等的字符串划分至同一个等价类；

引理 1: 若字符串 \(s\) 的两个子串 \(u,v\;(|u|\leq|v|)\) 的 \(\mathrm{endpos}\) 相同，当且仅当 \(u\) 为 \(v\) 的后缀；

引理 2: 对于字符串 \(s\) 的两个子串 \(u,v\;(|u|\leq|v|)\)，满足

\[\begin{cases} \mathrm{endpos}(v)\subseteq \mathrm{endpos}(u) &\text{if } u\text{ is a suffix of } v \\ \mathrm{endpos}(v)\cap \mathrm{endpos}(u)=\varnothing &\text{otherwise} \end{cases} \]

引理 3: 一个状态的字符串的长度恰好唯一覆盖 \([\mathrm{minlen}(u), \mathrm{len}(u)]\)，且长度短的字符串为长度长的字符串的后缀。

显然，SAM 由 \(t_{0}\) 和每个等价类对应状态构成。

我们令后缀链接 \(\mathrm{link}(u)\) 链接至最长的 \(\mathrm{endpos}\) 不同的后缀所对应的等价类。

引理 4: 所有的后缀链接构成一颗以\(t_{0}\) 为根的树（即为后缀树）。

引理 5: 对于 \(t_{0}\) 以外的状态 \(v\)，有 \(\mathrm{minlen}(v)=\mathrm{len}(\mathrm{link}(v))+1\)。

引理 6: 任意状态 \(v_{0}\) 顺着 \(\mathrm{link}\) 遍历，总会到达 \(t_{0}\)。路径中我们可以得到互不相交的区间序列 \([\mathrm{minlen}(v_{i}),\mathrm{len}(v_{i})]\)，且并集为 \([0, \mathrm{len}(v_{0})]\)。

算法

该算法为在线算法，且为保证空间复杂度，我们只保存 \(\mathrm{len}\) 和 \(\mathrm{link}\) 的值，而非 \(\mathrm{endpos}\)。
初始 SAM 只包含一个状态 \(t_{0}\)，编号为 \(0\)，并指定其 \(\mathrm{len}=0,\mathrm{link}=-1\)（\(-1\) 为虚拟状态）。

流程

• 令 \(last\) 为添加字符 \(c\) 前，整个字符串对应的状态（初始 \(last=0\)）。
• 创建新状态 \(cur\)，令 \(\mathrm{len}(cur)=\mathrm{len}(last)+1\)。
• 从状态 \(last\) 开始，不停向后缀链接遍历直至其存在到字符 \(c\) 的转移或已到达虚拟结点 \(-1\)，记该状态为 \(p\)。将遍历中的状态（除了 \(p\)）向 \(cur\) 添加转移。
• 若 \(p=-1\)，令 \(\mathrm{link}(cur)=0\) 并退出。
• 令 \(p\) 通过 \(c\) 转移得到的状态为 \(q\)，分两种情况讨论：
  • 若 \(\mathrm{len}(p)+1=\mathrm{len}(q)\)，令 \(\mathrm{link}(cur)=q\) 并退出；
  • 否则，我们创建新状态 \(clone\)，并令其复制 \(q\) 的状态，再令 \(\mathrm{len}(clone)=\mathrm{len}(p)+1,\mathrm{link}(cur)=\mathrm{link}(q)=clone\)。最终我们通过后缀链接将 \(p\) 往回走，只要存在 \(p\to q\)，就将转移重定向至 \(clone\)。
• 以上三种情况，在退出后令 \(last=cur\)。

证明

正确性证明

这是速通，有什么证明。

复杂度证明

复杂度线性，不予证明。

状态数证明

对于一个长度为 \(n\) 的字符串，状态数不超过 \(2n-1\;(n\leq 2)\)。易证。

转移数证明

对于一个长度为 \(n\) 的字符串，转移数不超过 \(4n-3\;(n\leq 3)\)。不予证明。