Xor Tree - 一种小巧高效的存树方式

该方法局限性较强，只在常数（不用递归）与码量上优于普通存图法，可以当看乐子。

无法树剖，唐完了。

部分信息求解

我们定义 \(deg_{u}\) 表示节点 \(u\) 的度数，\(xr_{u}\) 表示 \(u\) 相邻的节点编号异或值。这里，我们令根节点的 \(deg\) 加一，以保证其根的地位。
我们从小到大 (\(1 \sim n\)) 遍历 \(u\)。当 \(deg_{u}=1\) 时，我们认为 \(xr_{u}\) 即为 \(u\) 的父亲节点，记作 \(f\)。这时，我们将 \(deg_{f}\leftarrow deg_{f}-1,deg_{u}\leftarrow 0,xr_{f}\leftarrow xr_{f}~\mathrm{xor}~u\)。若 \(deg_{f}=1\)，则向上遍历。代码如下：

++deg[1];

for (int i = 1; i <= n; ++i) {
	for (int x = i, y; deg[x] == 1; x = y) {
		y = xr[x];
		--deg[y], deg[x] = 1, xr[y] ^= x;
	}
}

结束后的 \(xr\) 即为树中的父亲数组。容易发现，很多信息也可以在遍历的过程中求解，如子树大小 \(siz_{u}\)，最深深度 \(mxdep_{u}\)。也存在无法遍历时求解的，如节点深度 \(dep_{u}\)，这类信息需要父亲节点的信息，可以倒着节点遍历顺序处理。

dfs 序的求解

我们定义 \(dfn_{u}\) 表示 \(u\) 节点的 dfs 序，\(dif_{u}\) 表示 \(u\) 节点与父节点 dfs 序的差值，即 \(dfn_{fa_{u}}-dfn_{u}\)。
这里还需要维护一个信息：\(u\) 节点子树大小 \(siz_{u}\)。
在上述删除 \(u\) 节点的过程中，我们做以下操作：

1. \(siz_{u}\leftarrow siz_{u}+1\)
2. \(dif_{u}\leftarrow siz_{xr_{u}}+1\)
3. \(siz_{xr_{u}}\leftarrow siz_{xr_{u}}+siz_{u}\)
   对于节点 \(u\)，其所有祖先 \(dif\) 的和为其 \(dfn\)，按上述遍历顺序反向遍历即可。

对边信息的解读

有些题目需要获得连向父亲的边，可以类似 \(xr\) 记录边编号的异或值，相似处理即可。

效率比较

以【模板】最近公共祖先（LCA）为例，图表如下：

实现方法	耗时	内存	链接
邻接表	2.65s	121.33MB	here
链式前向星	1.82s	102.60MB	here
Xor Tree	1.79s	86.48MB	here

（这道题体现不出它的优势。。。）

参考链接

• Tutorial: The fastest tree algorithm, the XOR Linked Tree
• luogu: （搬运）如何更快地遍历无根树