数据结构总结

1. 树状数组（Fenwick Tree）

• 时间：query \(\mathcal O(\log n)\)，update \(\mathcal O(\log n)\)
• 空间：\(\mathcal O(n)\)
• 特点：仅支持前缀可减操作（和、异或），常数极小，代码简短。
• 扩展：支持区间加 + 区间和（双BIT）、二维树状数组 \(\mathcal O(\log^2 n)\)。

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2. 并查集（DSU）

• 时间：find \(\mathcal O(\alpha(n))\)（路径压缩+按秩合并），union \(\mathcal O(\alpha(n))\)
• 空间：\(\mathcal O(n)\)
• 特点：维护连通性、传递关系（种类并查集）、离线动态连通性（按时间分治）。
• 注意：不带撤销版本为均摊复杂度，带撤销时变为 \(\mathcal O(\log n)\)。

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3. 平衡树（Treap / Splay / FHQ-Treap）

目前只学了 FHQ Treap

• 时间：insert / delete / rank / kth / pre / suf 均为 \(\mathcal O(\log n)\) 期望/均摊
• 空间：\(\mathcal O(n)\)
• 特点：支持序列操作（分裂合并）或值域操作，FHQ-Treap 可持久化容易实现。
• 替代：std::set / std::map 为 \(\mathcal O(\log n)\)，但功能受限（无 kth）。

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4. 堆（优先队列）

• 普通堆（二叉堆）：
  • 时间：push \(\mathcal O(\log n)\)，pop \(\mathcal O(\log n)\)，top \(\mathcal O(1)\)
  • 空间：\(\mathcal O(n)\)
• 可并堆（左偏树）：
  • 时间：merge \(\mathcal O(\log n)\)，push/pop 同上
  • 空间：\(\mathcal O(n)\)
• 应用：Dijkstra、Kruskal 优化、动态第k大（对顶堆）。

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5. 单调队列 / 单调栈

• 时间：每个元素入/出一次，均摊 \(\mathcal O(1)\)
• 空间：\(\mathcal O(n)\)
• 特点：维护区间最值（滑动窗口）、最近更大/更小元素，常用于DP优化（斜率优化前置）。

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6. ST表（稀疏表）

• 时间：预处理 \(\mathcal O(n \log n)\)，查询 \(\mathcal O(1)\)（RMQ / 可重复贡献问题）
• 空间：\(\mathcal O(n \log n)\)
• 特点：静态区间最值、GCD、按位与等，不支持修改。

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7. 分块（Sqrt Decomposition）

• 时间：query \(\mathcal O(\sqrt n)\)，update \(\mathcal O(\sqrt n)\)（或 \(\mathcal O(1)\) 块内+ \(\mathcal O(\sqrt n)\) 整块）
• 空间：\(\mathcal O(n)\)
• 特点：平衡复杂度，代码直观，可处理线段树难维护的操作（如区间众数、区间模数）。

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8. 莫队（离线）

• 时间：\(\mathcal O((n+q) \sqrt n)\) 普通莫队，带修 \(\mathcal O(n^{2/3})\) 每操作
• 空间：\(\mathcal O(n)\)
• 特点：离线处理区间询问，要求操作可快速 \(\mathcal O(1)\) 扩展/收缩区间。
• 扩展：树上莫队、回滚莫队。

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9. 可持久化数据结构

• 可持久化线段树（主席树）：
  • 时间：query \(\mathcal O(\log n)\)，update \(\mathcal O(\log n)\)
  • 空间：\(\mathcal O(n \log n)\)（每次新建 \(\log n\) 节点）
  • 应用：静态区间第k小、树上路径第k小。
• 可持久化Trie：
  • 时间：\(\mathcal O(\log V)\)，空间 \(\mathcal O(n \log V)\)
  • 应用：最大异或和、区间异或最值。

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10. 动态开点线段树

• 时间：同普通线段树 \(\mathcal O(\log V)\)
• 空间：\(\mathcal O(m \log V)\)（m为操作次数），避免 \(4V\) 爆炸
• 特点：值域大（如 \(10^9\)）时必用，可合并（线段树合并）用于树上统计。

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11. 树链剖分（重链剖分）

• 时间：路径操作 \(\mathcal O(\log^2 n)\)（剖分+线段树），子树操作 \(\mathcal O(\log n)\)
• 空间：\(\mathcal O(n)\)
• 特点：静态树上的路径/子树修改查询，是LCT的静态替代方案，常数较小。