Computing Theory

Part 1. Standard Concept

Mathematical Logic

形式逻辑系统 Formal Logical System

形式系统 Formal System

由：

• 符号 (Symbol) 集合 \(\Sigma\)

• 一有限长符号串的集合，集合中的元素是 合式公式 (Well-formed Formula (wf.))，也称为 命题 (Proposition, statement)

• 合式公式的集合，称作 公理(Axiom)

• 一有限的 推理规则(Rule of deduction)

构成

完美逻辑系统 Perfect Logical System

• 可靠性 Soundness ： 任何定理为真。

• 一致性 Consistency：不存在 \(A\) 以及非 \(A\) 都是定理

• 完备性 Completeness：所有的真命题都可被证明是定理

  常见逻辑系统

• 命题逻辑 Statement Logic：一逻辑运算付和自命题构成命题；e.g : \(A \to (B \land C)\)

• 一阶逻辑 First-order Logic：加入量词 \(\forall\) (\forall)和 \(\exist\)(\exist or \exists)；e.g：\((\exist x)(\forall y)(x \land \lnot y)\)

• 一阶算术 First-order Logic：加入代数公式