CSP-S T4 员工招聘/employ

T4

A. 简化题目：给定 \(s_i\) ：定义与原题一致，求至少 \(m\) 个人通过的方案数。

B. 做法：

\(\alpha\) 考虑二维dp：

\(\text{dp}_{ij}\) 表示前 \(i\) 个人中，有 \(j\) 个人通过的方案数

\[\text{dp}_{ij} = \text{dp}_{i-1, j-1} \times (n - i + 1) \times i!, \ \text{if} \ s_i = 1\\ \ \ \ \ \ \ \text{dp}_{i-1,j}\times (n-i+!)\times i!, \ \text{if } s_i = 0 \]

但明显这是错的（一道上位紫的dp怎么可能这么简单）

不妨考虑再改一下

\(\text{dp}_{ij}\) 表示前 \(i\) 个人中，有 \(j\) 个人失败的方案数。

考虑转移：

但此时，我们发现仅知道 \(i\) 和 \(j\) 时， \(c_x > j\) 和 \(c_x \le j\) 的人数是未知的。

那就考虑加维

\(\beta\) 考虑三维dp：

经过上面的失败，我们发现 \(c_x > j\) 和 \(c_x \le j\) 的人数是要设进dp的状态转移方程中的

而这二者仅需知道一个就可求出另一个

\(\text{dp}_{ijk}\) 表示前 \(i\) 个人中，有 \(j\) 个人失败了，且在这 \(i\) 个人中，有 \(k\) 个人是 \(c_x > j\) 的

[此时，\(c_x \le j\) 的人数是 \(i - k\)]

记 cnt[i] 为 \(c_x = i\) 的人数，pre[i] 是 cnt 的前缀和

! 注意一点：

\(\text{dp}_{ijk} \larr \text{dp}_{i + \Delta_1, j+ \Delta_2, k+ \Delta_3}\)

\(s_i = 1\) 时

a. 选了 \(c_x > j\) 时：

\[\text{dp}_{ijk} \larr \text{dp}_{i - 1, j, k-1} \]

b. otherwise

记 ans[i] 为前 \(i - 1\) 步的答案，cnt[i] 为第 \(i\) 次的种数

ans[i] = \(\text{dp}_{i-1,j-1,k+t} \times {\text{cnt}_j \choose t}{k+t \choose t} t!\)

cnt[i] = \(\text{pre}_{j-1} - (i - k - t - 1)\)

则：

\[\text{dp}_{ijk} \larr \text{ans}[i] \times \text{cnt}[i] \]

\(s_i = 0\) 时

首先，考虑上一次的转移，此时是 \(i,\ j,\ k\) ，那上一次是 \(i-1,j-1,k+\Delta\)

a. \(c_x > j\) 时：

第 \(i\) 次之后共 \(k\) 个 \(c_x > j\)

而 \(i - 1\) 次选择后 使用了 \(k + \Delta = k + t - 1\) 个 \(c_x > j\)

\[\text{dp}_{ijk} \larr \text{dp}_{i-1,j-1,k+\Delta} \times {k + t - 1 \choose t}{\text{cnt}_j \choose t}t! \]

b. \(c_x \le j\) 时：

\[\text{dp}_{ijk} \larr \text{dp}_{i-1,j-1,k+t}\times{k + t\choose t} {\text{cnt}_j \choose t}t! \]