抽象代数(Abstract Algebra)-群论

太抽象了

群(Group)

定义

称集合\(G\)配一个二元运算\(\times\)为群，当且仅当其满足
封闭律：\(\forall a,b \in G, a \times b \in G\)
结合律：\((a \times b) \times c = a \times (b \times c)\)
单位元：\(\exist e \in G, \forall a \in G(e \times a = a \times e = a)\)
逆元：\(\forall a \in G, \exist b \in G(a\times b = b \times a = e)\)

我们称一个群\(G\)为阿贝尔群(交换群)，如果\(\forall a, b \in G(a \times b = b \times a)\)

群的阶：群中元素的个数，记作\(|G|\)
元素的阶：满足\(g^n = e\)的最小正整数，记作ord(\(g\))

群论

子群(Subgroup)：\(H \sube G\)且\((H, \times)\)也构成群
陪集(Coset)：假设\(g\)是\(G\)中元素，\(H\)是\(G\)的子群
称
\(gH = \{gh : h \in H \}\)，为\(H\)的左陪集
\(Hg = \{hg : h \in H \}\)，为\(H\)的右陪集
如果\(H\)是阿贝尔群，则左陪集等于右陪集，简称陪集
拉格朗日定理：
群\(G\)的子群\(H\)的阶整除\(G\)的阶，即\(|H| \,\, | \,\, |G|\)
正规子群(Normal Subgroup)
左右陪集相等的子群
商群(Quotient Group)
\(G / H = \{gH : g \in G\}\)，运算为\((aH)(bH) = (ab)H\)
群同态(Homomorphism)
映射\(\phi : G \rarr H\)，满足\(\phi(ab) = \phi(a)\phi(b)\)