题外话-围道积分

这里有了就不在高数添加了

围道积分（Contour Integration）

核心概念

1. 复变函数的积分：
   复变函数 \( f(z) \) 沿路径 \( \gamma \) 的积分定义为：

   \[\int_\gamma f(z) \, dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \gamma'(t) \, dt \]

   其中 \( \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} \) 是分段光滑的路径。

2. 围道：
   通常指复平面中的一条闭合曲线（如圆、矩形等），方向一般为正向（逆时针）。

3. 柯西积分定理：
   如果 \( f(z) \) 在围道 \( \gamma \) 及其内部解析（全纯），则：

   \[\oint_\gamma f(z) \, dz = 0 \]

4. 柯西积分公式：
   若 \( f(z) \) 在围道 \( \gamma \) 及其内部解析，\( z_0 \) 在 \( \gamma \) 内部，则：

   \[f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz \]

5. 留数定理：
   若 \( f(z) \) 在围道 \( \gamma \) 内部除有限个奇点 \( z_1, z_2, \dots, z_n \) 外解析，则：

   \[\oint_\gamma f(z) \, dz = 2\pi i \sum_{k=1}^n \text{Res}(f, z_k) \]

   其中 \( \text{Res}(f, z_k) \) 是 \( f(z) \) 在 \( z_k \) 处的留数。

应用示例

1. 计算实积分：
   通过围道积分可以计算某些实积分，例如：

   \[\int_0^{2\pi} R(\cos \theta, \sin \theta) \, d\theta \]

   或

   \[\int_{-\infty}^\infty \frac{P(x)}{Q(x)} \, dx \]

   通过选择合适的围道（如上半圆围道），将实积分转化为复积分，再用留数定理计算。

2. 典型例子：
   计算积分：

   \[I = \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1 + x^2} \, dx \]
   • 解法：取上半圆围道 \( \gamma = [-R, R] \cup C_R \)（半径为 \( R \) 的半圆），函数 \( f(z) = \frac{1}{1 + z^2} \) 在上半平面有一个奇点 \( z = i \)，留数为 \( \text{Res}(f, i) = \frac{1}{2i} \)。
   • 由留数定理：
     \[\oint_\gamma f(z) \, dz = 2\pi i \cdot \frac{1}{2i} = \pi \]

   • 当 \( R \to \infty \)，半圆部分积分趋于 \(0\)，故：
     \[I = \pi \]

关键步骤

1. 选择合适的围道（如半圆、矩形、钥匙孔围道等）。
2. 分析函数在围道内的奇点和留数。
3. 应用留数定理计算积分。
4. 处理围道中非闭合部分（如证明某些路径积分趋于 \(0\)）。

注意事项

• 围道不能穿过函数的奇点。
• 对于多值函数（如对数函数、根式函数），需引入分支切割（Branch Cut）并谨慎选择围道。