题外话-极坐标系

本篇文章会快速过一遍极坐标系

极坐标是实变以及复变的重要基础

极点
极坐标的原点
极轴
极坐标的坐标轴(只有一条)
点的表示\((r, \theta)\)

极径:距离极点的距离
极角:极径与极轴的夹角

坐标的转换

\[\begin{cases} x = r \cos\theta \\ y = r\sin\theta \end{cases} \]

\[\begin{cases} r = \sqrt{x^2 +y^2}\end{cases} \\ \theta = \arctan\frac{y}{x} \]

这里需要注意的是

\[\theta = \arctan\frac{y}{x}, \,x\,>\,0\\ \theta = \arctan\frac{y}{x} + \pi, \,x \,<\, 0\\ \theta = \begin{cases} \frac{\pi}{2}, \, x\,=\,0,\, y\,>\,0\\ \frac32 \pi, \,x\,=\,0,\,y\,<\,0 \end{cases} \]

常见曲线
直线:

\[r = \frac{b}{\sin\theta-k\cos\theta} \]

对应

\[(y = kx + b) \]

圆锥曲线

\[r = \frac{ed}{1 \pm e\cos\theta} \]

解释:
\(e\) ： 离心率
\(e = 0\)：圆
\(e \in (0, 1)\)：椭圆
\(e = 1\)：抛物线
\(e > 1\)：双曲线
\(d\) ： 焦点至准线的距离
玫瑰曲线(Rose Curve)

\[r = a\cos(n\theta)，或r = a\sin(n\theta) \]

双纽线(Lemniscate)
伯努利双纽线:

\[r^2 = a^2\cos(2\theta) \]

螺旋线
阿基米德

\[r = a + b\theta \]

对数

\[r = ae^{b\theta} \]

心形曲线

\[r = a(1 \pm \cos\theta)，或r = a(1 \pm \sin\theta) \]

曲线斜率

\[\frac{\text dy}{\text dx} = \frac{r'(\theta)\sin\theta+r(\theta)\cos\theta}{r'(\theta)\cos\theta-r(\theta)\sin\theta} \]

弧长积分
弧长微元\(ds = \sqrt{\text dr^2 + (r\text d\theta)^2} = \sqrt{r^2 + (\frac{\text dr}{\text d\theta})^2}\text d\theta\)

\[L = \int_\alpha^\beta \sqrt{r^2(\theta) + (\frac{\text dr}{\text d\theta})^2}\text d\theta \]

曲率公式

\[\kappa = \frac{r^2+2(r')^2-rr''}{[r^2 + (r')^2]^{\frac32}} \]

面积
面积微元\(\text dA = \text dx\text dy = r\text dr\text d\theta\)
二重积分

\[\iint_D f(r, \theta)\text dA = \int_{\theta_1}^{\theta_2}\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f(r, \theta)r\text dr\text d\theta \]

曲边扇形的面积
对于封闭曲线\(r = r(\theta)\)围成的区域

\[A = \frac12 \int_\alpha^\beta r^2(\theta)\text d\theta \]

常见积分界限
圆形区域\(r\le a\)

\[r \in [0, a], \theta \in [0, 2\pi] \]

环形区域

\[r \in [a, b], \theta \in [0, 2\pi] \]

扇形区域

\[r \in [0, R], \theta \in [\alpha, \beta] \]

心形区域

\[r \in [0, a(1 \pm \cos\theta)], \theta \in [0, 2\pi] \]