高等数学-1 极限

一.数列极限

定义1.1

对于给定的数列\(\{a_n\}\)，若当项数\(n\)无限增大时，数列中对应的项\(a_n\)无限趋向于(Approaches) 一个确定的常数\(L\)，则称数列\(\{a_n\}\) 收敛于\(L\)(converges to the number \(L\))，常数\(L\)称为数列\(\{a_n\}\)的极限(Limit)，并记作：

\[\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = L，或 a_n \rightarrow L (n \rightarrow \infty) \]

读作“当\(n\)趋于无穷大时，数列\(\{a_n\}\)的极限等于\(L\)或\(a_n\)趋于\(L\)”。

若数列\(\{a_n\}\)没有极限，则称\(\{a_n\}\)不收敛或发散

定义1.2

(无穷小数列)
对于给定的数列\(\{a_n\}\)，若\(\lim_{n \rightarrow \infty}a_n = 0\)，则称数列\(\{a_n\}\)为无穷小数列

定义1.3

(无穷大数列)
对于给定的数列\(\{a_n\}\)，若当项数\(n\)无限增大时，数列中对应的项\(a_n\)的绝对值\(|a_n|\)无限增大,则称数列\(\{a_n\}\)发散于无穷大(diverges to infinity)，记作

\[\lim_{n \rightarrow \infty}a_n = \infty，或a_n \rightarrow \infty (n \rightarrow \infty) \]

并称\(\{a_n\}\)是一个无穷大数列
需要注意的是，无穷大数列并不是收敛的

运算法则

若\(\{a_n\}\)和\(\{b_n\}\)均收敛，且\(\lim_{n \rightarrow \infty}a_n = a, \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = b\)，其中\(a,b\)是常数，则有
和法则，Sum Rule

\[\lim_{n \rightarrow \infty} (a_n + b_n)=\lim_{n \rightarrow \infty}a_n +\lim_{n \rightarrow \infty}b_n = a + b \]

减法则，Diffrence Rule

\[\lim_{n \rightarrow \infty} (a_n - b_n)=\lim_{n \rightarrow \infty}a_n -\lim_{n \rightarrow \infty}b_n = a - b \]

积法则，Product Rule

\[\lim_{n \rightarrow \infty} (a_n \cdot b_n)=\lim_{n \rightarrow \infty}a_n \cdot \lim_{n \rightarrow \infty}b_n = a \cdot b \]

乘常数法则，Constant Multiple Rule

\[\lim_{n \rightarrow \infty} (a_n \cdot b_n)=\lim_{n \rightarrow \infty}a_n \cdot \lim_{n \rightarrow \infty}b_n = a \cdot b \]

商法则，Quotient Rule

\[若b \not= 0\\ \lim_{n \rightarrow \infty} (\frac{a_n}{b_n})=\frac{\lim_{n \rightarrow \infty}a_n} {\lim_{n \rightarrow \infty}b_n} = \frac{a}{b} \]

幂法则，Power Rule

\[\lim_{n \rightarrow \infty}(a_n)^p = (\lim_{n \rightarrow \infty}a_n)^p = a^p，其中p \in \R，且a^p有意义 \]

例题:
求:

\[\lim_{n \rightarrow \infty}(\frac{5}{n}+\frac{1}{n ^2}) \]

解

\[\lim_{n \rightarrow \infty}(\frac{5}{n}+\frac{1}{n ^2}) = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{5}{n}+\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n ^2} = 0 + 0 = 0 \]

练习题(后面加)

函数极限

定义2.1

(\(x \rightarrow x_0\))时的极限
设函数\(f(x)\)在\(x_0\)的去心领域\(\dot U(x_0, \delta)\)中有定义，如果存在常数\(L\)使得当\(x\)无限靠近\(x_0\)时，对应的函数值\(f(x)\)无限靠近\(L\)，则称\(L\)为\(f(x)\)在\(x\)趋近于\(x_0\)时的极限，并记作:

\[\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = L，或f(x) \rightarrow L(x \rightarrow x_0) \]

定义2.2

单侧极限(one-side limit)
设函数\(f(x)\)在\(x_0\)的左侧有定义，如果存在常数\(L\)，使得当\(x\)从\(x_0\)左侧无限靠近于\(x_0\)时，对应的函数值\(f(x)\)无限靠近\(L\)，那么称\(L\)为\(f(x)\)在\(x\)趋近于\(x_0\)时的左极限(left-hand limit)，并记作

\[\lim_{x \rightarrow x_0^-}f(x) = L，或f(x) \rightarrow L(x \rightarrow x_0^-)，或f(x_0^-)=L\\ 或\lim_{x \rightarrow x_0-0}f(x) = L \]

类似地，可以定义\(f(x)\)在\(x_0\)处的右极限(right-hand limit)。若\(f(x)\)在\(x\)趋于\(x_0\)时的右极限为\(L\)，则可记为

\[\lim_{x \rightarrow x_0^+}f(x) = L，或f(x) \rightarrow L(x \rightarrow x_0^+)，或f(x_0^+) = L\\ 或\lim_{x \rightarrow x_0 + 0} f(x) = L \]

那么我们可以得到
函数\(f(x)\)在\(x_0\)处极限存在的充分必要条件是:

\[f(x_0^-) = f(x_0^+) = L \]