寻找中位值

问题：

　　设有一个算法Median能在O(n)的时间内计算一个数组的中位值(即将数组的元素按大小顺序排列正好位于中间的值)。给定一个有n个元素的数组，能否以Median算法为基础设计一个算法，对任意的整数1≤i≤n，该算法在O(n)的时间内求出数组中第i大小的元素。如果能，请给出一个这样的算法并分析其最坏时间复杂性。

算法设计：

　　最简单的方法便是先对数组进行排序，然后进行输出。但这并非最好的方法，因为有一部分数据的比较对于此问题是没有实际作用的。我们利用快速排序将整个数组进行排序，我们每次比较完毕后会将数组分为两个部分，我们无需处理不包含第i元素的部分，因此我们需要设计一个基于快速排序的查找算法。

　　我们首先将数组的第一个设为key，从左往右查找比key大的数，从右往左查找比key小的数，如果i<j说明

伪码：

sort(left,right,p){ //p为所求位置
    int i=left;
    int j=right;
    key=A[left];
    while(1){
        while(j>left && key<a[j]) j--;
        while(i<right && key>a[i]) i++;
        if(i<j) exchang a[i],a[j];
        else break;
    }
    exchang(key,a[j]);
    
    if(p==j) return key;
    else if(p<j) return sort(left,j-1,p);
    else return sort(j+1,right,p);
}

平均性能分析：

　　我们每次将问题的规模划分为两部分，在这种情况下我们的时间的递归式为：T(n)=T(n/2)+θ(n),其中θ(n)为每层的规模，因为我们只需判断两部分中的其中一部分则，T(n)在T(n)=T(9n/10)+c*9/10n和T(n)=T(n/10)+c*1/10n之间,根据主定理,a<b所以T(n)=O(n),满足题目要求.

　　当求第i个数组中的元素，在其最坏情况时，T(n)=T(9n/10)+c*9/10n，复杂度依然为0(n).