CSP-S模拟29
前言：
如果这场比赛的目的是让我罚坐的话，那它很成功了。
（其实也不是完全成功，毕竟还被级部遛了一圈）
T1：一个赢家（card）
思路：
显然，最大值的取值范围为\([2n+1,4n-1]\)，我们设最大值为\(x\)，则对于每种\(x\)，有\(⌈\frac{4n-x}{2}⌉\)种构成。我们令\(cnt=⌈\frac{4n-x}{2}⌉\)，不妨钦定其中一种为唯一的最大值，设\(x=a+b(a<b)\)是我们钦定以外的一组构成，则\(a\)要与\(c(c<b)\)组合，对于每一个\(a\)来说有\(x-2n-1\)种组合。处理完以后还剩\(2n-2cnt\)个数，这些书可以任意组合其不会对最大值造成干扰。综上，对于每个\(i\)它的答案为\(cnt*(x-2n-1)^{x-1}*f_{2n-2cnt}\)，这里的\(f_n\)就是\(n\)个数随意组合的方案数。
代码：
$code$
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define int long long
using namespace std;
const int N=1e7+10,mod=1e9+7;
int n,a[N],fac[N],inv[N],sum[N],ans;
inline int qpow(int x,int y){
int res=1;
while(y){
if(y&1) res=(res*x)%mod;
x=(x*x)%mod;
y>>=1;
}return res;
}
signed main(){
freopen("card.in","r",stdin);
freopen("card.out","w",stdout);
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>n;
if(n==1){
cout<<1<<'\n';
return 0;
}fac[0]=1;
for(int i=1;i<=2*n;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
inv[2*n]=qpow(fac[2*n],mod)%mod;
for(int i=2*n-1;i>=1;i--) inv[i]=(inv[i+1]*(i+1))%mod;
sum[1]=1;
for(int i=3;i<=2*n;i+=2) sum[i]=sum[i-2]*i%mod;
for(int i=4*n-1;i>=2*n+1;i--){
int x=(4*n-i+1)/2;
ans=(ans+x*qpow(i-2*n-1,x-1)%mod*sum[2*n-2*x-1]%mod)%mod;
}ans=(ans*qpow(sum[2*n-1],mod-2))%mod;
cout<<ans<<'\n';
return 0;
}
T2：排列计数（count）
思路：
显然，要把每个数本身含有的平方数先除掉，然后问题就演变成了对于一个序列，有多少种方案能使相同的数不相邻。这是我们只关注数是否相同，因此我们可以先离散化一下，然后统计每种数出现的次数。接下来考虑\(dp\)。设\(f_{i,j}\)表示放入第\(i\)种数有\(j\)个数不合法的。显然，最后我们要的是\(f_{siz,0}\)，\(siz\)为数的种类。考虑如何转移：我们设\(cnt_i\)表示第\(i\)种数的次数，转移方程为
啥意思捏？就是用当前元素插入不合法的数之间减少\(x\)个不合法的数，有新增\(cnt_i-k\)个不合法的数。我们从\(cnt_i\)个数中选出\(k\)个数将从\(j\)个树中选出的\(x\)个数隔开，然后剩下的\(k-x\)个数插入\(s_{i-1}-j+1\)个合法的数的空隙之间，这样不会产生不合法的数。最后因为数字的下标不同表示的方案不同，所以我们在乘上每种数的全排列的方案数就好啦~~
代码：
$code$
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define int long long
using namespace std;
const int N=605,mod=1e9+7;
int T,n,a[N],b[N],ans,num[N],fac[N],inv[N],s[N],cnt[N],f[N][N];
inline int qpow(int x,int y){
int res=1;x%=mod;
while(y){
if(y&1) res=(res*x)%mod;
x=(x*x)%mod;
y>>=1;
}return res;
}
inline int C(int n,int m){
if(n<m) return 0;
return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
signed main(){
freopen("count.in","r",stdin);
freopen("count.out","w",stdout);
ios::sync_with_stdio(false);
fac[0]=1;
for(int i=1;i<N;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
inv[N-1]=qpow(fac[N-1],mod-2)%mod;
for(int i=N-2;i>=0;i--) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
cin>>T;
while(T--){
cin>>n;ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++) cnt[i]=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
int x=a[i];
for(int j=2;j*j<=a[i];j++) while(x%(j*j)==0) x/=(j*j);
a[i]=x;
b[i]=x;
}sort(b+1,b+1+n);
int siz=unique(b+1,b+1+n)-b-1;
for(int i=1;i<=n;i++){
a[i]=lower_bound(b+1,b+1+siz,a[i])-b;
cnt[a[i]]++;
}
for(int i=1;i<=siz;i++) s[i]=s[i-1]+cnt[i];
for(int i=0;i<=siz;i++) for(int j=0;j<=n;j++) f[i][j]=0;
f[0][0]=1;
for(int i=1;i<=siz;i++){
for(int j=0;j<=n-siz;j++){
if(!f[i-1][j]) continue;
for(int k=0;k<cnt[i];k++){
for(int x=0;x<=min(j,k+1);x++){
f[i][j-x+cnt[i]-k-1]=(f[i][j-x+cnt[i]-k-1]+f[i-1][j]*C(cnt[i]-1,k)%mod*C(j,x)%mod*C(s[i-1]+1-j,k+1-x))%mod;
}
}
}
}ans=f[siz][0];
for(int i=1;i<=siz;i++) ans=(ans*fac[cnt[i]])%mod;
cout<<ans<<'\n';
}
return 0;
}
