CSP-S模拟18

前言：

哈哈

\(But...\)

疑似\(oi\)重拳出击.....

以及这场比赛的题目名字，看得出来出题人已经很绝望了

\(T1：\) 题目（\(problem\)）【又名：T648878 序列统计】

前言：

一定要好好算时间复杂度啊！！因为看到\(n≤8\)，所以写完\(dfs\)就跑，结果....丢了个\(0\)（其实有一部分原因是我不会算👉👈）

思路：

其实也是\(dfs\)，不过正常的\(dfs\)会像我一样\(T\)掉，所以我们要写\(meet-in-the-middle\)（折半搜索），然后就没啦。

代码：

点击查看代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#define int long long
using namespace std;
const int N=10;
int n,s,a[N],ans[1<<20],tot,cnt;
inline void dfs1(int pos,int sum){
	if(pos>(n+1)>>1){
		ans[++tot]=sum;//把前一半可能的情况存起来 
		return ;
	}int num=1;
	while(1){
		num*=a[pos];
		if(num+sum>s) break;
		dfs1(pos+1,sum+num);
	}
}//前一半 
inline void dfs2(int pos,int sum){
	if(pos>n){
		cnt+=upper_bound(ans+1,ans+1+tot,s-sum)-ans-1;//总计有多少种情况满足题意 
		return ;
	}int num=1;
	while(1){
		num*=a[pos];
		if(num+sum>s) break;
		dfs2(pos+1,sum+num);
	}
}//后一半 
signed main(){
//	freopen("problem.in","r",stdin);
//	freopen("problem.out","w",stdout);
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin>>n>>s;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	dfs1(1,0);
	sort(ans+1,ans+1+tot);//排序 方便查找 
	dfs2(((n+1)>>1)+1,0);
	cout<<cnt<<'\n';//输出答案 
	return 0;
} 

\(T2：\) 名字（name）【与此题相似】

前言：

此题长着一副人畜无害的样子，（却干着杀人放火的勾当） 但怒调两小时无果呜呜呜。赛后一看题解，确实是我高攀不起的亚子。依据同机房大佬简单易懂的讲解，我觉得我应该是悟了。

思路：

我们不难知道\(dis_{u,v}=dep_u+dep_v-2*dep_{lca(u,v)}\)，然后由期望的线性可得我们要求的东西就是\(E(dep_u+dep_v-2*dep_{lca(u,v)})~=~E(dep_u) ~ + ~ E(dep_v) ~ ~ - ~2*E(dep_{lca(u,v)})\)。其中，\(E(dep_u)\)很好求[ 我不造啊，ta们说滴 ] ，显然由题意可得，\(dep_i=\sum_{j=1}^{i-1}\frac{a_j}{sum_{i-1}}(dep_j+b_i+b_j)=\frac{\sum_{j=1}^{i-1}a_j*(dep_j+b_j)+\sum_{j=1}^{i-1}a_j*b_i}{sum_{i-1}}\)，显然，\(\sum_{j=1}^{i-1}a_j*(dep_j+b_j)\)这一坨可以用前缀和进行优化。

接着我们来看\(E(dep_{lca(u,v)})\)，我们不妨令\(u<v\)，那么显然\(lca(u,v)\) 只与\(u\)有关。为什么捏？我们假设\(u<v\)（如果不小于的话互换一下不就好了），那么\(lca_{u,v}\)一定为\(1\) ~ \(u-1\)中的一个值，即无论\(v\)为多少，只要\(u\)值一定，那么就会有一个对应的\(lca_{u,v}\)，于是我们可以得到式子啦（式子中的\(i\)为上述的\(u\)）：\(lca_i=\sum_{j=1}^{i}\frac{a_j}{sum_{i}}*lca_j=\frac{\sum_{j=1}^{i-1}a_j*lca_j+dep_i*a_i}{sum_{i}}\)，然后用前缀和优化一下就可以啦~~

最后再输出答案\(E(dep_u) ~ + ~ E(dep_v) ~ ~ - ~2*E(dep_{lca(u,v)})\)就完结撒花啦~~✿✿ヽ(°▽°)ノ✿

代码时间：

code time

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int maxn=3e5+10,mod=1e9+7;
int n,q,x,y,css;
int a[maxn],b[maxn],sum[maxn],dep[maxn],lca[maxn];
inline int qpow(int x,int y){
	int res=1;
	while(y){
		if(y&1) res=res*x%mod;
		x=x*x%mod;
		y>>=1;
	}
	return res;
}//快速幂 
signed main(){
//	freopen("name.in","r",stdin);
//	freopen("name.out","w",stdout);
	ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n>>q;
	for(int i=1;i<=n;++i) cin>>a[i];
	for(int i=1;i<=n;++i) cin>>b[i];
	for(int i=1;i<=n;++i) sum[i]=sum[i-1]+a[i];//前缀和 
	dep[1]=1;css=a[1]*(1+b[1])%mod;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		dep[i]=(css+sum[i-1]*b[i]%mod)%mod*qpow(sum[i-1],mod-2)%mod;
		css=(css+a[i]*(b[i]+dep[i])%mod)%mod;//存dep[j] 前缀和优化 
	}css=a[1];lca[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		lca[i]=(css+dep[i]*a[i]%mod)*qpow(sum[i],mod-2)%mod;//因为i的lca不包含i所以这里的分母为sum[i] 
		css=(css+lca[i]*a[i]%mod)%mod;//前缀和优化 
	}
	for(int i=1;i<=q;i++){
		cin>>x>>y;
		if(x==y){
			cout<<0<<'\n';
			continue;
		} //特判 
		cout<<((dep[x]+dep[y]-2*lca[x]%mod)%mod+mod)%mod<<'\n';//输出答案 
	}
	return 0;
}

\(T3：\) 好难（toohard）

前言：

跟我的心情那是一样一样滴，但是吧，我不会，就不写了吧

\(T4：\) 取啊（select）

前言：

不会+10086