埃氏筛和线性筛

埃氏筛

我们考虑这样一个事实：如果 x 是质数，那么大于 x 的倍数 2*x, 3*x, …一定不是质数。我们设isPrime[i] 表示数 i 是不是质数，如果是质数则为 1，否则为 0。从小到大遍历每个数，如果这个数为质数，则将其所有的倍数都标记为合数（除了该质数本身），即 0，这样在运行结束的时候我们即能知道质数的个数。这里还可以继续优化，对于一个质数 x，如果按上文说的我们从 2*x 开始标记其实是冗余的，应该直接从 x*x 开始标记，因为 2*x, 3*x, … 这些数一定在 x 之前就被其他数的倍数标记过了，例如 2 的所有倍数，3 的所有倍数等。

class Solution {
public:
    int countPrimes(int n) {
        vector<int> isPrime(n,1);
        int ans=0;
        for(int i=2;i<n;++i)
        {
            if(isPrime[i])
            {
                ans+=1;
                if((long long)i*i<n)
                {
                    for(int j=i*i;j<n;j+=i)
                        isPrime[j]=0;
                }
            }
        }
        return ans;
    }
};

该算法由希腊数学家埃拉托斯特尼（Eratosthenes）提出，称为埃拉托斯特尼筛法，简称埃氏筛。时间复杂度是 O(nloglogn)。

线性筛

以上做法仍有优化空间，比如对于 45 这个数，它会同时被 3，5 两个数标记为合数，我们发现这里面似乎会对某些数标记了很多次其为合数。如果能让每个合数都只被标记一次，那么时间复杂度就可以降到 O(n) 了，这就是线性筛的做法。

相较于埃氏筛，我们多维护一个 primes 数组表示当前得到的质数的集合。我们从小到大遍历，如果当前数是质数，就将其加入 primes 集合。另一点与埃氏筛不同的是，标记过程不再仅当 x 为质数时才进行，而是对每个整数 x 都进行。对于整数 x，我们不再标记其所有的倍数 x*x，x*(x+1)，...，而是只标记质数集合 primes 中的数与 x 相乘的数，即 x*primes₀ ，x*primes₁，...，且在发现 x mod primes_i = 0 的时候结束当前标记。

核心点在于：如果 x 可以被 primes_i 整除，那么对于合数 y = x*primes_i+1 而言，它一定在后面遍历到 (x/primes_i)*primes_i+1 这个数的时候会被标记，其他同理，这保证了每个合数只会被其最小的质因数筛去，即每个合数只被标记一次。

class Solution {
public:
    int countPrimes(int n) {
        vector<int> primes;
        vector<int> isPrime(n, 1);
        for (int i = 2; i < n; ++i) {
            if (isPrime[i]) {
                primes.push_back(i);
            }
            for (int j = 0; j < primes.size() && i * primes[j] < n; ++j) {
                isPrime[i * primes[j]] = 0;
                if (i % primes[j] == 0) {
                    break;
                }
            }
        }
        return primes.size();
    }
};